A figura apresenta a eficiência, a vida útil (mil horas) e o preço médio (R$) dos modelos de lâmpadas mais usados em residências.
Considere que, para iluminar dois ambientes com a mesma eficiência, é necessário que ambos tenham a mesma quantidade de lúmens por Watt, independentemente da quantidade de lâmpadas. Considere também que a relação custo/benefício de qualquer uma dessas lâmpadas é dada pela razão entre o preço médio (R$) e a vida útil (mil horas).
Augusto deseja instalar lâmpadas em um dos ambientes de sua casa, de modo a obter uma eficiência de exatamente 240 lúmens por Watt.
Dos modelos de lâmpadas apresentados na figura, o que atende a necessidade de Augusto com a menor relação custo/benefício é:
A) LED.
B) halógena.
C) fluorescente.
D) incandescente.
E) fluorescente compacta.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Razão e Proporção, Operações Básicas)
- Interpretação de Infográficos e Tabelas
- Análise de Custo-Benefício
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise comparativa de diferentes tecnologias (lâmpadas) com base em múltiplos critérios (eficiência, vida útil, preço) para encontrar a opção com o menor custo-benefício para uma necessidade específica.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão é trabalhosa e exige a execução de uma série de cálculos em duas etapas para cada uma das cinco opções. É preciso primeiro calcular o número de lâmpadas de cada tipo para atingir a eficiência desejada e, em seguida, usar esse número para calcular a relação custo/benefício. A organização e a atenção aos detalhes são cruciais.
✅ Gabarito: Alternativa C.
- Resumo: O problema é resolvido em duas fases. Primeiro, calcula-se quantas lâmpadas de cada tipo são necessárias para somar 240 lúmens/Watt de eficiência. Segundo, calcula-se a relação custo/benefício para cada cenário, dividindo o custo total (preço unitário × quantidade) pela vida útil. A lâmpada fluorescente é a que apresenta o menor valor para essa razão, sendo a mais vantajosa.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Augusto deseja instalar lâmpadas […] de modo a obter uma eficiência de exatamente 240 lúmens por Watt. Dos modelos […] o que atende a necessidade de Augusto com a menor relação custo/benefício é…”
O que está sendo pedido?
A questão nos dá uma meta de eficiência (240 lm/W) e uma fórmula para custo-benefício (Preço / Vida Útil). Precisamos descobrir:
- Quantas lâmpadas de cada tipo são necessárias para atingir a meta.
- Calcular a relação custo-benefício para cada combinação.
- Identificar qual combinação tem o menor valor de custo-benefício.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é, para cada tipo de lâmpada, calcular o valor final da expressão (Preço Total) / (Vida Útil) e encontrar o menor resultado.
🧠 A questão define o custo/benefício como Preço / Vida Útil. Note que o “Preço” aqui não é o unitário, mas o preço total para atingir os 240 lm/W. Essa é a primeira etapa crucial do cálculo.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Eficiência (E): Medida em lúmens por Watt (lm/W). A meta é atingir E_total = 240 lm/W.
- Vida Útil (VU): Medida em mil horas.
- Preço Médio (P): Medido em R$.
- Quantidade de Lâmpadas (Q): Número de lâmpadas de um mesmo tipo necessárias para atingir a meta. Q = E_total / E_unitaria.
- Custo Total (CT): Custo para comprar todas as lâmpadas necessárias. CT = Q × P.
- Relação Custo/Benefício (C/B): Conforme definido no enunciado, é a razão entre o preço médio e a vida útil. No entanto, a lógica do problema exige que usemos o custo total para a instalação, não o preço médio unitário. Portanto, a fórmula a ser calculada é:
C/B = Custo Total / Vida Útil = (Q × P) / VU
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Augusto quer iluminar um ambiente com uma “potência luminosa” total de 240 unidades. Cada tipo de lâmpada tem uma potência luminosa diferente. Primeiro, precisamos ver quantas lâmpadas de cada tipo ele precisa comprar para chegar nos 240. Depois, para cada opção, vamos calcular um “índice de desvantagem”: (Quanto ele gastou no total) / (Quanto tempo as lâmpadas duram). A melhor opção será aquela com o menor “índice de desvantagem”.
Estratégia Geral 🗺️
Vamos criar uma tabela e calcular, para cada tipo de lâmpada:
- A quantidade necessária (Q).
- O custo total (CT).
- A relação Custo/Benefício (C/B).
- Comparar os valores finais de C/B.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Incandescente:
- Q = 240 / 12 = 20 lâmpadas
- CT = 20 . R$ 3 = R$ 60
- C/B = 60 / 1 = 60
2. Halógena:
- Q = 240 / 20 = 12 lâmpadas
- CT = 12 . R$ 10 = R$ 120
- C/B = 120 / 4 = 30
3. Fluorescente:
- Q = 240 / 80 = 3 lâmpadas
- CT = 3 . R$ 6 = R$ 18
- C/B = 18 / 8 = 2,25
4. Fluorescente Compacta:
- Q = 240 / 60 = 4 lâmpadas
- CT = 4 . R$ 13 = R$ 52
- C/B = 52 / 6 = 8,67 (aprox.)
5. LED:
- Q = 240 / 80 = 3 lâmpadas
- CT = 3 . R$ 130 = R$ 390
- C/B = 390 / 40 = 9,75
Verificação Intermediária 🧐
Vamos comparar os resultados da relação Custo/Benefício (quanto menor, melhor):
- Incandescente: 60
- Halógena: 30
- Fluorescente: 2,25 (o menor valor)
- Fluorescente compacta: 8,67
- LED: 9,75
A lâmpada fluorescente (tubular) é a que apresenta a menor relação custo/benefício.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é interpretar mal a fórmula do custo/benefício, usando o preço unitário em vez do custo total da instalação. Se usássemos apenas Preço / Vida Útil:
- Incandescente: 3/1 = 3
- Halógena: 10/4 = 2,5
- Fluorescente: 6/8 = 0,75
- Fluorescente compacta: 13/6 ≈ 2,17
- LED: 130/40 = 3,25
Nesse caso, a fluorescente ainda seria a melhor, mas o raciocínio estaria incompleto por não considerar a quantidade de lâmpadas necessárias, que é uma condição imposta pelo problema.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo completo aponta a lâmpada fluorescente como a opção mais vantajosa.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) LED. (C/B = 9,75)
Incorreta. Apesar da altíssima vida útil, o custo de aquisição é tão elevado que seu custo/benefício não é o melhor.
🔴 B) halógena. (C/B = 30)
Incorreta.
🟢 C) fluorescente. (C/B = 2,25)
Correta. Apresenta a menor relação custo total / vida útil entre todas as opções.
🔴 D) incandescente. (C/B = 60)
Incorreta. É de longe a pior opção.
🔴 E) fluorescente compacta. (C/B = 8,67)
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Para resolver a questão, primeiro calculamos o número de lâmpadas de cada modelo necessário para atingir a eficiência de 240 lúmens/Watt. Em seguida, para cada modelo, calculamos o custo total de aquisição (preço unitário multiplicado pela quantidade). Finalmente, aplicamos a fórmula do custo/benefício, dividindo o custo total pela vida útil em mil horas. A comparação dos resultados mostrou que a lâmpada fluorescente (tubular) possui o menor índice de custo/benefício (2,25), sendo a escolha mais vantajosa para Augusto.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
Em problemas de análise de custo-benefício com múltiplos critérios, a chave é a organização. Monte uma tabela para sistematizar os cálculos de cada opção. E sempre leia com atenção a fórmula de custo-benefício dada no enunciado, pois ela pode ser diferente do que você esperaria.
