A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a 2005.
Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020, em kg, será:
A) 610.
B) 640.
C) 660.
D) 700.
E) 710.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Progressão Aritmética)
- Interpretação de Tabelas e Padrões
🎯 Tema/Objetivo Geral: Utilização do conceito de Progressão Aritmética para fazer uma projeção futura com base em dados históricos.
📊 Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão descreve um padrão de crescimento linear muito simples (aumento de 40 kg a cada 5 anos). A resolução pode ser feita tanto pela fórmula da Progressão Aritmética quanto por uma simples contagem incremental, o que a torna bastante acessível.
✅ Gabarito: Alternativa C.
- Resumo: Os dados da tabela formam uma Progressão Aritmética onde, a cada 5 anos, a produção aumenta 40 kg. Partindo do valor de 2005 (540 kg), basta somar 40 kg por três vezes (para chegar a 2010, 2015 e 2020), resultando em 660 kg.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos […] no ano de 2020, em kg, será…”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para prever o valor da produção de lixo em 2020. Para isso, devemos primeiro descobrir qual é o “padrão de aumento” que acontece a cada 5 anos e depois aplicar esse mesmo padrão para avançar no tempo até 2020.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é:
- Identificar a regularidade no aumento da produção de lixo na tabela.
- Usar essa regularidade para projetar os valores para 2010, 2015 e, finalmente, 2020.
🧠 A palavra-chave é “padrão”. A matemática adora padrões! Qual é a regra que transforma 460 em 500, e 500 em 540? Descubra a regra e aplique-a novamente.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Progressão Aritmética (PA): É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante chamada razão (r).
- Identificação da PA no Problema:
- Termos da PA: São os valores da produção de lixo: a₁ = 460 (para 1995), a₂ = 500 (para 2000), a₃ = 540 (para 2005).
- Razão (r): É o aumento constante a cada intervalo de tempo.
r = a₂ – a₁ = 500 – 460 = 40
r = a₃ – a₂ = 540 – 500 = 40 - O Padrão: A cada 5 anos, a produção de lixo por habitante aumenta 40 kg.
- Termo Geral da PA: A fórmula para encontrar qualquer termo de uma PA é:
- aₙ = a₁ + (n – 1) . r
- Onde aₙ é o termo que queremos encontrar, a₁ é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A questão nos dá um histórico da produção de lixo: em 1995 era 460 kg, em 2000 subiu para 500 kg, e em 2005 foi para 540 kg. A gente percebe que a cada 5 anos, a “montanha de lixo” por pessoa cresce 40 kg. A pergunta é: se essa “escadinha” de 40 kg continuar subindo a cada 5 anos, qual será a altura da montanha em 2020?
Estratégia Geral 🗺️
Temos duas formas de resolver:
- Método Incremental (mais simples): Partir de 2005 e ir somando 40 a cada 5 anos até chegar em 2020.
- Método da Fórmula da PA (mais formal): Identificar qual é a “posição” do ano 2020 na nossa sequência e aplicar a fórmula do termo geral.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado
Método 1: Incremental (passo a passo)
Este método é o mais intuitivo e rápido para esta questão.
- Valor em 2005: 540 kg
- Valor em 2010 (2005 + 5 anos): 540 + 40 = 580 kg
- Valor em 2015 (2010 + 5 anos): 580 + 40 = 620 kg
- Valor em 2020 (2015 + 5 anos): 620 + 40 = 660 kg
Método 2: Usando a Fórmula da PA
- Definir os termos:
- Primeiro termo (a₁): 460 (correspondente ao ano n=1, que é 1995).
- Razão (r): 40
- Encontrar a posição (n) do ano 2020:
A sequência de anos é: 1995, 2000, 2005, 2010, 2015, 2020.
Contando, vemos que 2020 é o 6º termo da sequência. Portanto, n=6 - Aplicar a fórmula do termo geral (aₙ = a₁ + (n – 1) . r):
- a₆ = a₁ + (6 – 1) . r
- a₆ = 460 + (5) . 40
- a₆ = 460 + 200
- a₆ = 660
Verificação Intermediária 🧐
Ambos os métodos levam exatamente ao mesmo resultado: 660 kg.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria um erro de contagem ou de cálculo. Por exemplo, somar 40 kg apenas duas vezes em vez de três (esquecendo um dos intervalos de 5 anos), o que levaria a 620 kg (que não está nas alternativas, o que ajuda).
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao valor de 660 kg para o ano de 2020.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 610 Incorreta.
🔴 B) 640 Incorreta.
🟢 C) 660 Correta. Corresponde exatamente ao resultado obtido pelos dois métodos de cálculo.
🔴 D) 700 Incorreta.
🔴 E) 710 Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
A análise da tabela revela um padrão de crescimento linear, característico de uma Progressão Aritmética (PA). A cada intervalo de 5 anos, a produção de resíduos por habitante aumenta em 40 kg. Partindo do último dado conhecido (540 kg em 2005), projetamos os valores para os próximos intervalos de 5 anos: 580 kg em 2010, 620 kg em 2015 e, finalmente, 660 kg em 2020.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
Sempre que um problema apresentar uma sequência com um aumento ou diminuição constante, você está diante de uma Progressão Aritmética. Você pode resolvê-lo “na mão”, somando ou subtraindo a razão a cada passo, ou usando a fórmula do termo geral para encontrar valores mais distantes.
