Questão 151, caderno azul do ENEM 2014

Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Questão 151 - ENEM 2014 - Questão 151,Geometria Espacial

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em

A) 14,4%

B) 20,0%

C) 32,0%

D) 36,0%

E) 64,0%

Resolução em texto

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Geometria Espacial (Volume de um Paralelepípedo)
Porcentagem (Aumento e Redução Percentual)
Álgebra (Resolução de Equações)
Proporcionalidade Inversa

🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise da relação inversa entre a área da base e a altura de um prisma para manter o volume constante.

🎯 Nível da Questão: Médio.

Detalhe: A questão é de nível médio porque envolve múltiplas etapas e conceitos: calcular o aumento das dimensões da base, usar a conservação do volume para encontrar a nova altura e, o mais importante, calcular corretamente a redução percentual, que é um ponto onde muitos alunos podem se confundir entre o fator de redução e a porcentagem de redução.

✅ Gabarito: D

A alternativa está correta porque, para manter o mesmo volume, um aumento de 25% nas dimensões da base exige uma redução na altura que a torna 64% da altura original, o que corresponde a uma diminuição de 36%.

📖 Resolução Passo a Passo

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial 📌
“Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em“

1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão não pede a nova altura, mas sim a porcentagem de redução da altura antiga para se chegar na nova altura.

1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é calcular a nova altura da lata e, em seguida, comparar esse novo valor com a altura original (40 cm) para descobrir de quantos por cento ela diminuiu.

1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que “reduzida para 64%” é diferente de “reduzida em 64%”? Entender essa diferença de preposição é crucial para não errar no final do cálculo!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Vamos alinhar os conceitos para não haver dúvidas:

1. Volume de um Paralelepípedo: É o produto de suas três dimensões. Como a base é um quadrado, podemos escrever:
- Volume = (Lado da base)² × Altura
2. Aumento Percentual: Aumentar um valor em 25% é o mesmo que multiplicá-lo por 1,25.
- Novo Valor = Valor Antigo × (1 + 0,25) = Valor Antigo × 1,25
3. Proporcionalidade Inversa (Conservação do Volume):
- A fórmula é Volume = Área da Base × Altura.
- Se queremos que o Volume seja constante, a Área da Base e a Altura são inversamente proporcionais. Isso significa que, se multiplicarmos a Área da Base por um fator k, teremos que multiplicar a Altura pelo fator inverso 1/k.
4. Cálculo de Redução Percentual:
- Se um valor V_antigo passa a ser V_novo, o fator de mudança é fator = V_novo / V_antigo.
- A porcentagem de redução é calculada como (1 – fator) × 100%.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que temos uma lata de tinta quadrada. Queremos criar uma nova lata com a mesma quantidade de tinta dentro (mesmo volume), mas com a base mais larga. Se alargamos a base, para o volume continuar o mesmo, o que precisa acontecer com a altura? Ela tem que diminuir, ficar mais “achatada”. Nossa tarefa é descobrir exatamente de quantos por cento essa altura tem que ser reduzida.

3.2 Estratégia Geral 📌
Podemos seguir dois caminhos.

Caminho 1 (Com Cálculos de Volume):
1. Calcular as novas dimensões da base.
2. Calcular o volume da lata original.
3. Usar o volume e as novas dimensões da base para encontrar a nova altura.
4. Calcular a redução percentual da altura.
Caminho 2 (Usando Proporcionalidade – mais rápido):
1. Calcular o fator de aumento da área da base.
2. Encontrar o fator inverso de redução da altura.
3. Converter esse fator de redução em porcentagem de redução.

Vamos seguir o Caminho 2 por ser mais elegante e conceitual.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado (Usando Proporcionalidade) 📌

Passo A: Calcular o fator de aumento das dimensões da base
- As dimensões da base aumentam em 25%.
- O fator de multiplicação é 1,25.
- Lado_novo = Lado_antigo × 1,25
Passo B: Calcular o fator de aumento da ÁREA da base
- Área_nova = (Lado_novo)² = (Lado_antigo × 1,25)²
- Área_nova = (Lado_antigo)² × (1,25)²
- Área_nova = Área_antiga × 1,5625
- O fator de aumento da área da base é 1,5625.
Passo C: Encontrar o fator de redução da altura
- Como Volume = Área_base × Altura deve ser constante, a altura deve ser multiplicada pelo inverso do fator da área.
- Fator de redução da altura = 1 / 1,5625
- Vamos calcular essa divisão. Uma dica é transformar em fração: 1,5625 = 1 + 0,5625 = 1 + 9/16 = 25/16.
- Fator de redução = 1 / (25/16) = 16/25
- Convertendo de volta para decimal: 16 / 25 = 64 / 100 = 0,64.
- Portanto, Altura_nova = Altura_antiga × 0,64.
Passo D: Calcular a porcentagem de REDUÇÃO
- Se a nova altura é 64% da antiga, significa que ela foi reduzida EM 100% – 64%.
- Redução Percentual = 36%.

4.2 Verificação Intermediária (usando o Caminho 1) 📌

Lado_antigo = 24. Altura_antiga = 40.
Lado_novo = 24 × 1,25 = 30.
Volume_antigo = 24 × 24 × 40 = 23.040 cm³.
Volume_novo deve ser o mesmo. 30 × 30 × Altura_nova = 23.040.
900 × Altura_nova = 23.040 → Altura_nova = 23.040 / 900 = 25,6 cm.
Redução = (Altura_antiga – Altura_nova) / Altura_antiga = (40 – 25,6) / 40 = 14,4 / 40 = 0,36.
Convertendo para porcentagem: 0,36 × 100% = 36%. Os dois caminhos levam ao mesmo resultado!

4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é no passo final. Ao encontrar que a nova altura é 0,64 vezes a antiga, você poderia se confundir e marcar a alternativa E (64,0%). Mas a questão pede a redução, ou seja, o “desconto” que foi dado na altura, que é 100% – 64% = 36%.

4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos, por dois métodos diferentes, confirmam que a redução na altura deve ser de 36%. Agora vamos checar as alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 14,4%
B) 20,0%
C) 32,0%
D) 36,0%
E) 64,0%

5.2 Justificativa Individual

A) 14,4% (🔴) Incorreta. 14,4 cm é a diferença absoluta entre as alturas (40 – 25,6). Confunde o valor absoluto da redução com o percentual.
B) 20,0% (🔴) Incorreta. Seria o resultado se o problema fosse linear. Se o lado aumenta 25%, você poderia pensar que a altura diminui 25%. Mas como a área da base aumenta ao quadrado, a relação não é linear.
C) 32,0% (🔴) Incorreta. Sem uma lógica de erro clara.
D) 36,0% (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo de redução percentual.
E) 64,0% (🔴) Incorreta. Como vimos na armadilha, 64% é o fator pelo qual a nova altura é multiplicada (Altura_nova = 0,64 × Altura_antiga), mas não é a porcentagem de redução.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Para manter o volume constante, a mudança na altura deve compensar a mudança na área da base. Como as dimensões da base foram multiplicadas por 1,25, a área da base foi multiplicada por (1,25)² = 1,5625. A altura, portanto, deve ser multiplicada pelo fator inverso, 1 / 1,5625 = 0,64. Uma altura que se torna 64% da original sofreu uma redução de 36%.

6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa D.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra da proporcionalidade inversa para volumes: se a área da base muda por um fator k, a altura deve mudar por um fator 1/k para o volume se manter. E sempre preste atenção se a pergunta pede o valor final, o fator de mudança ou a porcentagem de variação