Luíza decidiu pintar seus cabelos e os de sua mãe usando as cores B e C em ambas as tinturas. A cor B é a que tinge os cabelos brancos e a cor C dá um tom mais claro durante a exposição à luz.
Luíza sabe que, em cabelos com muitos fios brancos, como os de sua mãe, a proporção entre as cores C e B é de 1 para 3. Para ela, que tem poucos fios brancos, a proporção a ser aplicada é de 3 partes da cor C para 1 parte da cor B. Além disso, como sua mãe tem cabelos curtos, basta a aplicação de 60 gramas de tintura; já para seus longos cabelos, serão necessários 120 gramas.
De acordo com a situação descrita, a quantidade, em gramas, da tintura da cor B que Luíza deve adquirir para pintar os seus cabelos e os de sua mãe é:
A) 60.
B) 75.
C) 90.
D) 105.
E) 180.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Enunciado
- Razão e Proporção
- Álgebra Básica (Equação de 1º grau)
Tema/Objetivo Geral: Cálculo de quantidades específicas com base em proporções e totais diferentes para dois cenários.
Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão envolve múltiplos passos e dados. É preciso separar as informações da mãe e da filha, aplicar a proporção correta para cada uma, resolver duas equações separadas e, no final, somar os resultados parciais. A chance de misturar os dados é alta se não houver organização.
Gabarito: Alternativa B.
- Resumo: O problema é resolvido calculando a quantidade da tintura B necessária para a mãe (45 g) e para Luíza (30 g) separadamente, e depois somando os dois valores.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“a quantidade, em gramas, da tintura da cor B que Luíza deve adquirir para pintar os seus cabelos e os de sua mãe é…”
O que está sendo pedido?
A questão pede a soma da quantidade da tintura B usada na mãe mais a quantidade da tintura B usada em Luíza.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é resolver o problema em três partes:
- Calcular a quantidade da tinta B para a mãe.
- Calcular a quantidade da tinta B para Luíza.
- Somar os dois resultados.
🧠 Você notou que as proporções de tinta C e B são diferentes para a mãe e para a filha? A mãe usa mais B, e a filha usa mais C. Prestar atenção nisso é crucial para não inverter os cálculos!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos
- Razão e Proporção: Uma proporção como “1 para 3” significa que, para cada “parte” de uma coisa, você tem três “partes” de outra. O total é a soma dessas partes.
- Exemplo: Uma proporção de 1 para 3 significa que o todo é dividido em 1 + 3 = 4 partes iguais. Uma das coisas corresponde a 1/4 do total, e a outra a 3/4 do total.
- Modelagem Algébrica: Podemos usar uma variável (x) para representar o valor de “uma parte”. Se a proporção é de C para B de 1 para 3, a quantidade de C é 1x e a de B é 3x. A soma 1x + 3x deve ser igual à quantidade total de tintura.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Vamos organizar as informações em uma tabela mental:
| Mãe | Luíza | |
| Total de Tinta | 60 gramas | 120 gramas |
| Proporção (C : B) | 1 : 3 (pouco C, muito B) | 3 : 1 (muito C, pouco B) |
| Total de Partes | 1 + 3 = 4 partes | 3 + 1 = 4 partes |
| Objetivo | Calcular a quantidade de B | Calcular a quantidade de B |
A questão final é: (Tinta B da Mãe) + (Tinta B de Luíza) = ?
Estratégia Geral
Vamos resolver cada caso separadamente e depois somar.
- Cálculo da Mãe: Dividir 60g em 4 partes, pegar as 3 partes que correspondem à tinta B.
- Cálculo de Luíza: Dividir 120g em 4 partes, pegar a 1 parte que corresponde à tinta B.
- Somar os dois resultados.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Cálculo para a Mãe:
- Total de tintura: 60 g
- Proporção (C : B): 1 : 3 (Total de 4 partes)
- A tinta B corresponde a 3 partes de 4.
- Quantidade de B para a mãe = (3/4) . 60 g
- (3/4) . 60 = (3 . 60) / 4 = 180 / 4 = 45 g
Alternativa com álgebra:
Seja x o valor de “uma parte”.
1x (Cor C) + 3x (Cor B) = 60
4x = 60
x = 15 g
A quantidade de B é 3x, então 3 . 15 = 45 g.
2. Cálculo para Luíza:
- Total de tintura: 120 g
- Proporção (C : B): 3 : 1 (Total de 4 partes)
- A tinta B corresponde a 1 parte de 4.
- Quantidade de B para Luíza = (1/4) . 120 g
- 120 / 4 = 30 g
Alternativa com álgebra:
Seja y o valor de “uma parte”.
3y (Cor C) + 1y (Cor B) = 120
4y = 120
y = 30 g
A quantidade de B é 1y, então 1 . 30 = 30 g.
3. Somar os totais da tinta B:
- Total de B = (B da Mãe) + (B de Luíza)
- Total de B = 45 g + 30 g = 75 g
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é inverter as proporções. Se você aplicasse a proporção de Luíza (3:1) na mãe, encontraria (1/4).60 = 15g de B para a mãe. E se aplicasse a proporção da mãe (1:3) em Luíza, encontraria (3/4).120 = 90g de B para Luíza. A soma daria 15+90 = 105g, que é a alternativa D. É uma pegadinha bem elaborada!
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo cuidadoso, separando os dois cenários, nos levou a um total de 75 g de tinta B. Vamos conferir as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 60
Incorreta. Este é o total de tintura usado na mãe, não a quantidade de tinta B.
🟢 B) 75
Correta. Corresponde à soma da tinta B para a mãe (45 g) e para Luíza (30 g).
🔴 C) 90
Incorreta. Este valor corresponde à quantidade de tinta B se a proporção da mãe (1:3) fosse aplicada erroneamente ao cabelo de Luíza (3/4 de 120g).
🟡 D) 105
A que mais confunde. Este é o resultado que se obtém ao inverter as proporções entre mãe e filha, como explicado na “Possível armadilha”.
🔴 E) 180
Incorreta. Este é o total de tintura usado nas duas (60 + 120).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A solução foi encontrada calculando-se separadamente a quantidade da tintura B para cada pessoa, respeitando as proporções e totais individuais. Para a mãe, 3/4 de 60g (45g). Para Luíza, 1/4 de 120g (30g). A soma dos dois resulta em 75g.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, que indica a necessidade de 75 gramas da tintura da cor B.
Resumo Final para Revisão
Em problemas com múltiplos cenários, a organização é sua melhor amiga. Crie uma tabela ou separe os dados de cada cenário antes de começar a calcular para não misturar as informações.
