Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Cilindros)
- Álgebra Básica (Manipulação de Equações)
- Razão e Proporção
Tema/Objetivo Geral: Aplicação da fórmula de volume do cilindro para comparar as dimensões de dois sólidos com volumes e alturas proporcionais.
Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão não envolve apenas um cálculo direto. É necessário montar duas equações, relacioná-las e simplificar algebricamente. O resultado pode ser contraintuitivo, o que exige confiança na manipulação matemática em vez de apenas na intuição.
Gabarito: Alternativa C.
- Resumo: Ao estabelecer a relação entre os volumes e as dimensões dos dois cilindros, a matemática mostra que a redução da altura pela metade já é suficiente para reduzir o volume pela metade, fazendo com que o raio permaneça o mesmo.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“qual a relação entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem de 350 mL?”
O que está sendo pedido?
A questão quer que a gente encontre uma fórmula que relacione o raio da lata nova (r’) com o raio da lata antiga (r).
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é usar a fórmula do volume do cilindro para os dois casos, criar uma equação que conecte as duas situações e, através da álgebra, simplificar tudo até que sobre apenas a relação entre r’ e r.
🧠 Se o volume de um objeto cai pela metade e a altura dele também cai pela metade, o que será que acontece com a “largura” (o raio)? A intuição pode nos enganar, então vamos confiar na matemática para descobrir!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos
- Volume do Cilindro: É o espaço que o cilindro ocupa. A fórmula para calculá-lo é:
- Fórmula: V = A_b . h ou, mais especificamente, V = π . r² . h
- Onde:
- V é o Volume.
- A_b é a Área da base (que é um círculo).
- π (Pi) é uma constante matemática (aproximadamente 3,14).
- r é o raio do círculo da base.
- h é a altura do cilindro.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você é o engenheiro da fábrica de bebidas. Seu chefe diz: “Precisamos de uma lata com metade do volume, e para economizar material, a altura dela também será a metade da atual. Descubra qual deve ser o raio dessa nova lata.” Sua missão é calcular essa relação.
Estratégia Geral
Nosso plano será o seguinte:
- Escrever a equação do volume para a lata grande (V1).
- Escrever a equação do volume para a lata pequena (V2).
- Usar a informação de que V1 = 2 . V2 para conectar as duas equações.
- Simplificar a equação resultante até encontrarmos a relação entre r e r’.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Escrever as equações para cada lata:
- Lata Grande (V1): Volume = 350 mL, raio = r, altura = h
- V1 = π . r² . h
- 350 = π . r² . h
- Lata Pequena (V2): Volume = 175 mL, raio = r’, altura = h/2
- V2 = π . (r’)² . (h/2)
- 175 = π . (r’)² . (h/2)
2. Relacionar as duas equações:
Sabemos que o volume da lata grande é o dobro do volume da lata pequena:
- V1 = 2 . V2
Agora, vamos substituir as fórmulas nessa relação:
- π . r² . h = 2 . [π . (r’)² . (h/2)]
3. Simplificar a equação:
Observe o lado direito da equação. Temos um 2 multiplicando e um 2 dividindo. Eles se cancelam!
- π . r² . h = (2/2) . π . (r’)² . h
- π . r² . h = 1 . π . (r’)² . h
- π . r² . h = π . (r’)² . h
Agora podemos simplificar ainda mais. Como π e h aparecem multiplicando dos dois lados, podemos “cortá-los” (tecnicamente, dividir ambos os lados por π . h):
- r² = (r’)²
4. Concluir a relação:
Se o quadrado de r é igual ao quadrado de r’, e como raios são sempre medidas positivas, podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados e concluir que:
- r = r’
Verificação Intermediária 🧐
Isso significa que o raio da nova embalagem é igual ao raio da embalagem antiga! A redução da altura pela metade já foi o suficiente para reduzir o volume pela metade, sem precisar alterar o raio.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é a intuição. Muitas pessoas pensam que, se o volume diminui, todas as dimensões devem diminuir. Escolheriam a alternativa B (r’ = r/2) por instinto. No entanto, se o raio e a altura fossem reduzidos pela metade, o volume seria reduzido a 1/8 do original (V ~ r²h → (r/2)²(h/2) = V/8), o que seria uma redução muito maior que a desejada.
Fechamento e expectativa
Nossa dedução matemática nos levou a uma relação de igualdade entre os raios. Vamos procurar a alternativa que expressa isso.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) r’ = √r
Incorreta. Relação de raiz quadrada, não se aplica.
🟡 B) r’ = r/2
A que mais confunde. É a resposta intuitiva, mas errada, pois não considera que a altura já foi reduzida pela metade.
🟢 C) r’ = r
Correta. Confere exatamente com o nosso resultado algébrico.
🔴 D) r’ = 2r
Incorreta. Significaria que o raio dobrou, o que aumentaria o volume.
🔴 E) r’ = ³√2
Incorreta. Relação envolvendo raiz cúbica, não se aplica ao problema.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
Utilizamos as fórmulas de volume para cada cilindro e as relacionamos através da proporção dada (um é metade do outro). A simplificação algébrica da equação revelou que a mudança na altura era a única necessária, mantendo os raios iguais.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C, que mostra a relação de igualdade r’ = r.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se: o volume de um cilindro depende da altura (h) e do quadrado do raio (r²). Uma mudança em uma dimensão pode ser compensada por outra. Sempre confie na fórmula para verificar sua intuição
