O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
A) 1 m
B) 2 m
C) 2,4 m
D) 3 m
E) 2√6 m
🧠 Tema Geral: Geometria Plana – Semelhança de Triângulos e Proporcionalidade
📚 Matérias Necessárias:
- Semelhança de Triângulos
- Proporções e Razões
- Interpretação geométrica
📈 Nível da Questão:
Médio, pois exige identificar dois pares de triângulos semelhantes, montar proporções e fazer substituições algébricas com clareza.
✔️ GABARITO: Alternativa C – 2,4 m
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
Calcular o valor da haste EF, que liga dois postes e está perpendicular ao solo.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Determinar a altura x da haste EF usando relações de semelhança entre os triângulos da figura.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você consegue perceber quais triângulos compartilham os mesmos ângulos e por isso são semelhantes?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas 📌
- Semelhança de triângulos: Dois triângulos são semelhantes quando possuem todos os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes em proporção.
- Proporção entre lados de triângulos semelhantes:
Se triângulo ABC ~ triângulo BEF, então:
AC / AB = EF / FB
Se triângulo ABD ~ triângulo AEF, então:
BD / AB = EF / AF
- Multiplicação cruzada nas proporções:
Se a/b = c/d, então a·d = b·c.
Contexto dos dados da questão:
- Altura dos postes: AC = 4 m, BD = 6 m
- EF = x
- AF = z
- FB = y
- AB = z + y
📌 Esses triângulos formam pares com lados correspondentes, e o EF é altura comum perpendicular ao solo.
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Temos dois postes inclinados, de 4 m e 6 m de altura, com cabos que se cruzam e uma haste EF sendo instalada entre os cabos, perpendicular ao solo. Precisamos descobrir o valor exato dessa haste.
3.2 Estratégia Geral 📌
Usar as semelhanças dos triângulos ABC ~ BEF e ABD ~ AEF para montar duas proporções envolvendo o mesmo valor x (EF) e resolver um pequeno sistema.
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Chamemos:
- EF = x
- AF = z
- FB = y
- AB = z + y
Primeiro usamos a semelhança ABC ~ BEF:
AC / AB = EF / FB
Ou seja:
4 / (z + y) = x / y
Multiplicando cruzado:
x * (z + y) = 4y
→ Equação (1)
Agora, usamos a semelhança ABD ~ AEF:
BD / AB = EF / AF
Ou seja:
6 / (z + y) = x / z
Multiplicando cruzado:
x * (z + y) = 6z
→ Equação (2)
Como o lado esquerdo das duas equações é o mesmo:
4y = 6z
→ Dividindo por 2:
2y = 3z
→ z = (2/3) * y
Substituímos esse valor de z na equação (1):
x * ((2/3)y + y) = 4y
x * ((5/3)y) = 4y
Dividindo ambos os lados por y:
x * (5/3) = 4
Multiplicando ambos os lados por 3:
5x = 12
x = 12 / 5 = 2,4 m
4.2 Verificação Intermediária 📌
Tudo bate com a lógica dos triângulos semelhantes e com a estrutura da figura. O valor obtido para EF está entre os valores das alturas dos postes, como esperado.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
Você pode ter se confundido ao identificar os triângulos envolvidos. Só porque os vértices E e F estão na região central, não significa que eles formam um triângulo “interno”. O correto é usar os triângulos completos da figura externa.
4.4 Fechamento e expectativa
A resolução mostra que a haste EF tem 2,4 m, o que esperamos encontrar entre as alternativas.
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas 📌
A) 1 m
B) 2 m
C) 2,4 m
D) 3 m
E) 2√6 m
5.2 Justificativa Individual 📌
🔴 A) Muito pequena. Desconsidera a diferença de alturas e a proporcionalidade entre os triângulos.
🔴 B) Ainda abaixo do valor correto. Pode ter vindo de um arredondamento incorreto ou aproximação mal feita.
🟢 C) Correta! Resultado exato das proporções aplicadas com semelhança: EF = 2,4 m.
🔴 D) Acima do valor esperado. Provável chute sem considerar proporções.
🔴 E) Raiz desnecessária e sem contexto. A figura não envolve diagonais ou relações com √6.
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Aplicamos semelhança entre triângulos formados pelos postes e os cabos de aço, montamos proporções e resolvemos um sistema para descobrir a altura da haste EF.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
Alternativa C – o valor correto do comprimento da haste EF é 2,4 m.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
📌 Quando figuras envolvem triângulos sobrepostos e alturas, sempre desconfie de semelhança de triângulos – elas são a chave para montar proporções certeiras!
