Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m³, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m³.
Considere 3 como valor aproximado para π
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de
A) 1,6
B) 1,7
C) 2,0
D) 3,0
E) 3,8
🧠 Tema Geral: Geometria Espacial – Volume de Sólidos (Cilindro)
📚 Matérias Necessárias:
- Geometria Espacial (volume de cilindros)
- Interpretação de problema com restrição de volume
- Aritmética básica (raiz quadrada, multiplicação, divisão)
📈 Nível da Questão:
Médio.
Apesar de usar uma fórmula simples (volume do cilindro), o aluno precisa interpretar uma situação tridimensional com subtração de volumes, o que pode confundir quem não domina bem o raciocínio espacial.
✔️ GABARITO: Alternativa A
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial (trecho do enunciado):
“Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m³.”
📌 O que está sendo pedido?
Determinar o raio máximo rrr que a ilha de lazer pode ter, para que sobrem pelo menos 4 m³ de água na piscina.
📌 Objetivo Cristalino:
Calcular o maior valor possível de r, de forma que o volume ocupado pela água da piscina seja maior ou igual a 4 m³, após a construção da ilha.
📌 Dica:
Como os dois objetos (piscina e ilha) são cilindros concêntricos com mesma altura, a ideia é subtrair os volumes:
- Volume útil (água)= Volume da piscina − Volume da ilha
💬 Possíveis Armadilhas:
“Mudando o raio interno, o volume muda muito?”
Sim! Porque o volume depende do quadrado do raio:
- V=πr^2h
✔ Pergunta de Atenção:
Se você cavasse um buraco em forma de cilindro dentro de outro maior, quanto de espaço “sobraria” ao redor?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
📌 Volume do Cilindro
O volume de um cilindro é dado por: V=πr^2h
Onde:
- r é o raio da base
- h é a altura (ou profundidade)
- π≈3 (valor aproximado pedido na questão)
🔎 Exemplo cotidiano para entender o conceito:
Imagine um copo cheio de água (cilindro). Se você colocar uma lata menor dentro (também cilíndrica), parte da água será deslocada. O espaço que ainda tem água é o “volume útil”.
📌 Situação da questão:
A piscina é o cilindro maior → volume total = 12 m³
A ilha seca é um cilindro menor no centro → volume ocupado
O espaço que ainda tem água é:
- V água=V piscina − V ilha
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
Vamos organizar os dados fornecidos:
| Elemento | Forma | Raio | Altura | Volume |
|---|---|---|---|---|
| Piscina | Cilindro | RRR | 1 m | πR^2⋅1=12 m^3 |
| Ilha de lazer | Cilindro seco | rrr | 1 m | πr^2⋅1 |
| Volume mínimo da água | — | — | — | ≥4 m^3 |
🔁 Reescrevendo a condição do problema:
- Volume da água=12 − πr^2 ≥ 4
Isso nos leva ao próximo passo com o desenvolvimento algébrico da condição.
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
Etapa 1 – Montar a desigualdade com os dados do enunciado:
- 12 − πr^2 ≥ 4
Etapa 2 – Subtrair 12 de ambos os lados:
- −πr^2 ≥ −8
Etapa 3 – Multiplicar ambos os lados por -1 (inverte o sinal):
- πr^2 ≤ 8
Etapa 4 – Substituir π≈3:
- 3r^2 ≤ 8
Etapa 5 – Isolar r^2:
- r2 ≤ 8/3
Etapa 6 – Extrair a raiz quadrada:
- r ≤ √ 8/3 ≈ √ 2,67 ≈ 1,63
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
Vamos agora testar as alternativas e ver qual delas é menor ou igual a 1,63 (o valor máximo de rrr).
🔸 A) 1,6
→ ✅ Menor que 1,63 → Possível
🔸 B) 1,7
→ ❌ Maior que 1,63 → Inviável
🔸 C) 2,0
→ ❌ Maior que 1,63 → Inviável
🔸 D) 3,0
→ ❌ Muito maior → Descartada
🔸 E) 3,8
→ ❌ Muito maior → Descartada
🎯 Conclusão da análise:
A maior alternativa possível dentro do limite calculado é a letra A: 1,6.
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
🔎 A ilha de lazer precisa ter um raio máximo que não consuma mais que 8 m³ da piscina.
🔎 Com base no cálculo, esse raio máximo é:
- r≤ √ 8/3≈1,63
A única alternativa que respeita esse limite é a letra A: 1,6 m.
✅ Gabarito confirmado com segurança: Alternativa A
