Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
🧠 Tema Geral: Função Exponencial – Modelagem matemática de relações biológicas
📚 Matérias Necessárias:
- Potenciação
- Equações com expoentes fracionários
- Modelagem matemática (interpretação de proporcionalidade)
📈 Nível da Questão:
Médio — A transformação algébrica é simples, mas exige interpretação correta de uma relação proporcional com potências fracionárias. Pode confundir quem não tem domínio de radiciação e modelagem matemática.
✔️ GABARITO: Alternativa D
✅ PASSO 1 — Análise do Comando e Objetivo
📌 Comando Essencial:
“O cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M².”
📌 O que está sendo pedido?
Reescrever a equação matemática da proporcionalidade dada, isolando a área S em função da massa M.
📌 Objetivo Cristalino:
Achar uma equação do tipo S=k⋅M^a , com expoente racional, que traduza corretamente a relação entre superfície e massa informada no enunciado.
📌 Dica Geral:
Quando algo é “proporcional ao quadrado de M”, colocamos M^2 do lado direito.
Se temos “o cubo da área”, isso significa S^3 no lado esquerdo.
💬 Possíveis Armadilhas:
Muitos confundem o que significa “cubo da área” e acabam elevando ou multiplicando os lados da equação de forma errada.
✔ Pergunta de Atenção:
Você sabe manipular uma equação onde a incógnita está elevada a uma potência? Lembra como tirar raiz cúbica?
✅ PASSO 2 — Explicação de Conceitos e conteúdos Necessários
📌 1. O que significa “o cubo da área é proporcional ao quadrado da massa”?
A palavra “proporcional” indica uma relação com constante k. Então escrevemos:
S³ = k · M²
📌 2. Como resolver uma equação com potência?
Queremos isolar S. Para isso, fazemos a raiz cúbica dos dois lados, ou seja, elevamos ambos os lados à potência 1/3:
S = (k · M²)^(1/3)
📌 3. Propriedades de potências:
Quando temos (ab)^n = a^n · b^n, podemos separar:
S = k^(1/3) · M^(2/3)
Chamamos k^1/3 de uma nova constante, pois continua sendo um número positivo qualquer (constante de proporcionalidade adaptada).
Logo, podemos escrever:
S = (k¹ᐟ³) · M²ᐟ³
✅ PASSO 3 — Tradução e Interpretação do Texto
A frase-chave do enunciado:
“O cubo da área S é proporcional ao quadrado da massa M.”
Traduzido em linguagem matemática:
S³ = k · M²
Objetivo: isolar S para escrever a fórmula da área em função de M.
Com isso, vamos aplicar a raiz cúbica para eliminar o expoente 3 sobre o S.
Isso nos leva à expressão:
S = k^(1/3) · M^(2/3)
✅ PASSO 4 — Desenvolvimento de Raciocínio
Etapa 1 – Tradução da frase:
“Cubo da área” = S^3
“Proporcional ao quadrado da massa” = k · M^2
Então:
S³ = k · M²
Etapa 2 – Isolar o S:
Fazemos raiz cúbica dos dois lados:
S = (k · M²)^(1/3)
Etapa 3 – Aplicar propriedade de potências:
S = k^(1/3) · M^(2/3)
✅ PASSO 5 — Análise das Alternativas
Vamos testar uma a uma:
A) S=k⋅M
→ Incorreta: potência de M deveria ser fracionária (2/3), não 1. ❌
B) S=k⋅M^1/3
→ Errada: isso significaria que S^3 = k^3, o que não corresponde ao enunciado. ❌
C) S = k^{1/3} · M^{1/3}
→ Errada: expoente de M deveria ser 2/3, não 1/3. ❌
✅ D) S = k^{1/3} · M^{2/3}
→ Correta: corresponde exatamente à equação obtida. ✔
E) S = k^{1/3} · M^{2}
→ Errada: expoente de M está elevado a 2, não a 2/3. ❌
✅ PASSO 6 — Conclusão e Justificativa Final
A frase “o cubo da área é proporcional ao quadrado da massa” traduz-se em:
S³ = k · M²
Ao isolar S:
S = k^{1/3} · M^{2/3}
Portanto, a única alternativa correta é a letra D, que expressa exatamente essa relação.
✅ Gabarito confirmado: Letra D
