Recentemente foram obtidos os fios de cobre mais finos possíveis, contendo apenas um átomo de espessura, que podem, futuramente, ser utilizados em microprocessadores. O chamado nanofio, representado na figura, pode ser aproximado por um pequeno cilindro de comprimento 0,5 nm (1 nm = 10−9 m). A seção reta de um átomo de cobre é 0,05 nm² e a resistividade do cobre é 17 Ω⋅nm. Um engenheiro precisa estimar se seria possível introduzir esses nanofios nos microprocessadores atuais.
Um nanofio utilizando as aproximações propostas possui resistência elétrica de
A) 170 nΩ.
B) 0,17 Ω.
C) 1,7 Ω.
D) 17 Ω.
E) 170 Ω.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Eletrodinâmica
- Segunda Lei de Ohm
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da resistência elétrica de um condutor com base em suas propriedades geométricas e do material.
🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque, embora envolva a aplicação direta de uma fórmula (2ª Lei de Ohm), ela exige muita atenção às unidades de medida (nanômetros, nm). Um aluno desatento poderia se confundir nas conversões para o Sistema Internacional (SI) ou errar na manipulação das potências de dez, sendo que a maneira mais simples de resolver é perceber que as unidades “nano” se cancelam.
✅ Gabarito: E) 170 Ω. A alternativa está correta pois a aplicação direta da Segunda Lei de Ohm, utilizando os valores fornecidos para resistividade, comprimento e área, resulta precisamente em 170 Ω.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Um nanofio utilizando as aproximações propostas possui resistência elétrica de”
O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para calcular o valor da resistência elétrica (R) de um nanofio de cobre, dadas as suas dimensões e a resistividade do material.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é encontrar o valor numérico da resistência, em Ohms (Ω), usando os dados fornecidos no enunciado do problema.
Pergunta de Atenção ✔
Você reparou que todas as unidades fornecidas estão na escala “nano” (nm, nm² e Ω·nm)? Será que é realmente necessário converter tudo para o Sistema Internacional (metros), ou existe um atalho inteligente que podemos usar?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos entender a Segunda Lei de Ohm e os termos envolvidos:
- Resistência Elétrica (R):
- Explicação: É a oposição que um material oferece à passagem da corrente elétrica. Quanto maior a resistência, mais “difícil” é para a eletricidade fluir. Sua unidade de medida é o Ohm (Ω).
- Exemplo do cotidiano: Pense em dois canos de água. Um cano fino e longo oferece muita resistência à passagem da água (alta resistência). Um cano grosso e curto deixa a água passar facilmente (baixa resistência).
- Resistividade (ρ – letra grega “rô”):
- Explicação: É uma característica intrínseca do material do qual o fio é feito. Ela mede o quão resistivo aquele material é por natureza, independentemente do seu formato. Materiais como cobre e ouro têm baixa resistividade (são bons condutores), enquanto borracha e vidro têm alta resistividade (são isolantes).
- Exemplo do cotidiano: Usando a analogia dos canos, a resistividade seria como a “viscosidade” do líquido. Água (baixa resistividade) flui fácil, enquanto mel (alta resistividade) flui com dificuldade.
- Segunda Lei de Ohm:
- Fórmula: R = ρ * (L / A)
- O que significa: A fórmula nos diz que a resistência (R) de um fio é diretamente proporcional à sua resistividade (ρ) e ao seu comprimento (L), e inversamente proporcional à sua área de seção transversal (A).
- R: Resistência (em Ω)
- ρ: Resistividade do material (em Ω·m no SI, ou Ω·nm no problema)
- L: Comprimento do fio (em m no SI, ou nm no problema)
- A: Área da seção transversal, ou “grossura” do fio (em m² no SI, ou nm² no problema)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Temos um fio de cobre minúsculo, um “nanofio”. A questão nos dá três informações sobre ele: o seu comprimento (L), a sua “grossura” (área A) e uma propriedade do cobre chamada resistividade (ρ). O objetivo é juntar essas três peças de informação em uma única fórmula para descobrir o quão resistente esse fio é à passagem de eletricidade.
Estratégia Geral 📌
Nossa estratégia será: 1) Listar os valores dados pelo enunciado para ρ, L e A. 2) Substituir esses valores na fórmula da Segunda Lei de Ohm (R = ρ * L / A). 3) Realizar o cálculo matemático, prestando muita atenção em como as unidades de medida se comportam.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar a estratégia. Primeiro, os dados:
- Resistividade (ρ) = 17 Ω·nm
- Comprimento (L) = 0,5 nm
- Área (A) = 0,05 nm²
Agora, usamos a fórmula da Segunda Lei de Ohm:
R = ρ * L / A
Substituindo os valores:
R = (17 Ω·nm) * (0,5 nm) / (0,05 nm²)
Vamos resolver a parte numérica primeiro:
R = 17 * (0,5 / 0,05)
Para facilitar a divisão 0,5 / 0,05, podemos multiplicar ambos por 100, o que dá 50 / 5:
R = 17 * (50 / 5)
R = 17 * 10
R = 170
Agora, vamos analisar as unidades para ter certeza:
Unidade = (Ω·nm * nm) / nm²
Unidade = (Ω·nm²) / nm²
As unidades “nm²” no numerador e no denominador se cancelam!
Unidade = Ω
Portanto, o resultado final é:
R = 170 Ω
Verificação Intermediária 📌
Nosso cálculo resultou em 170. A análise das unidades confirmou que o resultado está em Ohms (Ω), que é a unidade correta para resistência elétrica. Tudo parece consistente.
Possível armadilha ❓/ ✔
Você pode ter pensado: “Preciso converter tudo para o Sistema Internacional!”. Isso seria um caminho mais longo e arriscado. Você teria que fazer: L = 0,5 x 10⁻⁹ m, A = 0,05 x 10⁻¹⁸ m², e ρ = 17 x 10⁻⁹ Ω·m. O cálculo funcionaria, mas as chances de errar com as potências de 10 são enormes. A grande “sacada” aqui era perceber que, como todas as unidades usavam o prefixo “nano” de forma consistente, elas simplesmente se cancelariam, tornando o cálculo muito mais simples e seguro.
Fechamento e expectativa
O nosso desenvolvimento lógico e matemático nos levou ao resultado de 170 Ω. Agora, vamos conferir as alternativas para ver se encontramos essa resposta.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 170 nΩ
B) 0,17 Ω
C) 1,7 Ω
D) 17 Ω
E) 170 Ω
Justificativa Individual
- 🔴 A) 170 nΩ: Incorreta. O valor numérico 170 está certo, mas a unidade está errada. O resultado do cálculo é em Ohms (Ω), não em nano-ohms (nΩ). Este é um distrator para quem se confundiu com as unidades.
- 🔴 B) 0,17 Ω: Incorreta. Este valor resultaria de um erro de cálculo, como se o resultado da divisão (0,5 / 0,05) fosse 0,01 em vez de 10 (17 * 0,01 = 0,17).
- 🔴 C) 1,7 Ω: Incorreta. Este valor viria de um erro na ordem de grandeza, como se a divisão desse 0,1 em vez de 10 (17 * 0,1 = 1,7).
- 🔴 D) 17 Ω: Incorreta. Este seria o resultado se o fator L/A fosse igual a 1, o que não é verdade.
- 🟢 E) 170 Ω: Correta. Este é exatamente o valor que encontramos em nosso cálculo passo a passo (R = 17 * 10 = 170 Ω).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
Para resolver a questão, aplicamos a Segunda Lei de Ohm (R = ρ * L / A). A chave do sucesso foi identificar que não era necessário converter as unidades para o SI, pois o prefixo “nano” se cancelava em todas as grandezas, simplificando a conta para R = 17 * 10.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a E) 170 Ω.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para problemas com a 2ª Lei de Ohm, sempre verifique as unidades! Se o comprimento, a área e a resistividade usam o mesmo prefixo (como ‘mili’, ‘centi’ ou ‘nano’), eles provavelmente se cancelarão. Perceber isso economiza tempo e evita erros.
