Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$32,00.
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é:
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Funções por partes; Gráfico de função afim; Interpretação de gráficos.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: B.
Objetivo Geral: Identificar o gráfico que corresponde à função por partes que descreve o valor cobrado em função do número de ligações.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 📌 Transcrição Essencial
“um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00.”
1.2 📌 O que está sendo pedido?
Encontrar o gráfico que mostra corretamente o valor pago mensal (eixo vertical) em função do número de ligações feitas (eixo horizontal).
1.3 📌 Objetivo Cristalino
Determinar a forma do gráfico que representa:
- custo constante de 12 reais para 0 a 100 ligações,
- custo crescente linear de 12 + 0,10 × (n – 100) para n entre 101 e 300,
- custo constante de 32 reais para n entre 301 e 500.
1.4 ✔ Pergunta de Atenção
Você está lembrando que, depois de 300 ligações, o valor não continua subindo, mas permanece fixo em 32 reais?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 📌 Definições e Fórmulas
- Função por partes: uma mesma função pode ter diferentes expressões em intervalos distintos de entrada.
- Trecho 1 (0 ≤ n ≤ 100): valor fixo = 12.
- Trecho 2 (101 ≤ n ≤ 300): valor = 12 + 0,10 × (n – 100).
- Trecho 3 (301 ≤ n ≤ 500): valor fixo = 32.
Para o trecho crescente, quando n = 100, valor = 12 + 0,10 × (100 – 100) = 12;
quando n = 300, valor = 12 + 0,10 × (300 – 100) = 12 + 20 = 32.
2.2 ❓✔ Dúvida Comum e Resposta
- Dúvida Comum: “Será que o valor começa a aumentar a partir da ligação 100 ou a partir da 101?”
- Resposta: O enunciado diz “a partir da 101ª ligação até a 300ª”. Portanto, para n = 100, o valor ainda é 12 reais; somente em n = 101 inicia-se o cálculo 12 + 0,10 × (101 – 100) = 12,10.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 📌 Contextualização Simplificada
Em linguagem coloquial:
- Se você fizer até 100 ligações, paga sempre 12 reais, custe o que custar.
- Se fizer entre 101 e 300 ligações, paga 12 reais mais 10 centavos extra para cada ligação acima de 100.
- Se fizer entre 301 e 500 ligações, paga sempre 32 reais, independentemente de ser 301 ou 500 ligações.
3.2 📌 Estratégia Geral
- Modelar três trechos distintos no gráfico (valor constante, valor linear crescente, valor constante).
- Verificar os pontos de “quebra” no gráfico: em n = 100 e em n = 300.
- Comparar com as opções de gráfico dadas (A a E) para encontrar o que exibe exatamente esses três comportamentos.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 📌 Passo a Passo Detalhado
- Trecho 1: 0 ≤ n ≤ 100
- Valor = 12 (constante).
- No gráfico, será uma linha horizontal em y = 12, desde n = 0 até n = 100.
- Trecho 2: 101 ≤ n ≤ 300
- Fórmula: valor = 12 + 0,10 × (n – 100).
- Em n = 100 → valor = 12 + 0,10 × 0 = 12. (continua do mesmo nível)
- Em n = 101 → valor = 12 + 0,10 × 1 = 12,10. (pequeno crescimento)
- Em n = 300 → valor = 12 + 0,10 × 200 = 12 + 20 = 32.
- Portanto, no gráfico, para 100 < n < 300, a linha sobe de forma linear, partindo de (100, 12) e chegando em (300, 32).
- Trecho 3: 301 ≤ n ≤ 500
- Valor = 32 (constante).
- No gráfico, será uma linha horizontal em y = 32, desde n = 300 até n = 500.
Em resumo:
- 0 a 100 ligações: reta horizontal em y = 12.
- 100 a 300 ligações: reta inclinada de (100, 12) até (300, 32).
- 300 a 500 ligações: reta horizontal em y = 32.
4.2 📌 Verificação Intermediária
- Em n = 100, valor ainda é 12 (começa a subir apenas para n = 101).
- Em n = 300, valor de subida atinge 32 e, a partir de 300, deve-se manter em 32.
- Não há crescimento depois de 300; portanto, gráfico não pode subir além de y = 32 para n > 300.
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) Mostra trecho crescente direto de y = 0 até y = 33 antes de n = 300 e depois constante em 33.
- B) Exibe: reta horizontal em y = 12 até n = 100; reta inclinada de (100, 12) até (300, 32); reta horizontal em y = 32 até n = 500.
- C) Inicia em y = 0 até n = 100, depois sobe para y = 12 em n = 100–150, depois sobe de novo para y = 30 em n = 300, finalizando acima de y = 32.
- D) Reta inclinada de (0, 0) até (300, 30) e depois constante em y = 30.
- E) Reta suave crescente desde (0, 0) até acima de y = 32 em n = 400, sem trechos horizontais fixos em 12 e 32.
5.2 Justificativa Individual
- A) ❌
- Não tem reta horizontal em y = 12 até n = 100 (começa em y = 3 ou 0). Além disso, sobe até y = 33 em vez de 32, e não respeita o valor fixo de 12.
- B) ✅
- Até n = 100, gráfico é uma reta horizontal em y = 12.
- De n = 100 a n = 300, a reta cresce linearmente de (100, 12) a (300, 32).
- A partir de n = 300 até n = 500, reta horizontal em y = 32.
- Corresponde exatamente à descrição do plano.
- C) ❌
- Começa em y = 0 em vez de y = 12, e tem múltiplas quebras que não coincidem.
- D) ❌
- Não há trecho constante em y = 12 (começa em zero) e sobe até 30 em vez de 32; além disso, não há passo em y = 32.
- E) ❌
- Não apresenta retas horizontais nos valores corretos 12 e 32, e ultrapassa 32 antes de n = 400.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 📌 Resumo do Raciocínio
Modelamos a função por partes: valor constante em 12 até n = 100; valor crescente linear até 32 em n = 300; valor constante em 32 até n = 500. O gráfico que exibe exatamente esses trechos é o da alternativa B.
6.2 📌 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é B.
6.3 🔍 Resumo Final para Revisão
Para gráficos de plano que cobram taxa extra a partir de certo ponto, identifique o trecho constante inicial, o trecho de subida linear (com coeficiente igual ao preço por ligação), e o trecho constante final onde alcança o teto do valor.
