A bandeira de um estado é formada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.
Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor.
O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é
A) 1 × 2 × 1 × 1 × 2.
B) 3 × 2 × 1 × 1 × 2.
C) 3 × 2 × 1 × 1 × 3.
D) 3 × 2 × 1 × 2 × 2.
E) 3 × 2 × 2 × 2 × 2.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Análise combinatória
- Princípio multiplicativo
- Restrições em arranjos
📔 Nível da Questão:
- Média – Apesar de não exigir fórmulas complexas, requer atenção às restrições entre faixas adjacentes e bom raciocínio sequencial.
✅ Gabarito:
- Letra B
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Análise combinatória com restrição (cores diferentes para elementos adjacentes)
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é”
2️⃣ O que está sendo pedido?
A quantidade de maneiras diferentes de pintar as 5 faixas com 3 cores, sem repetir cor em faixas adjacentes.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Aplicar o princípio multiplicativo com restrição de cores adjacentes, definindo as possibilidades faixa a faixa.
4️⃣ Dica Geral:
O segredo está em rastrear as dependências: cada faixa depende da cor da faixa anterior, mas algumas dependem de mais de uma.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você já tentou pintar algo onde as cores não podiam se repetir lado a lado? Resolver isso é como montar um quebra-cabeça com escolhas limitadas!
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos erram por pensar que a quantidade de cores é sempre a mesma em todas as faixas. Mas aqui, a restrição de adjacência muda a quantidade de escolhas a cada etapa.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
O princípio multiplicativo diz que, se um evento pode ocorrer de a maneiras, e outro de b maneiras, o total de possibilidades é a × b.
Quando há restrições, o número de possibilidades muda a cada passo.
Cuidado especial com faixas não consecutivas que acabam influenciando outras por propagação de restrições (como C e D).
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A bandeira tem 5 faixas: A, B, C, D, E
Condições:
- Cada faixa deve ter uma cor diferente da adjacente
- Temos 3 cores disponíveis: verde, azul, amarelo
Vamos pintar faixa por faixa, respeitando as restrições.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
🔸 Faixa A
→ Primeira faixa, livre escolha
→ 3 possibilidades
🔸 Faixa B
→ Não pode ter a mesma cor de A
→ 2 possibilidades
🔸 Faixa C
→ Não pode ser igual a A nem a B
→ Apenas 1 possibilidade (pois já usamos 2 cores nas anteriores)
🔸 Faixa D
→ Não pode ser igual a B nem a C
→ Novamente, 1 possibilidade
🔸 Faixa E
→ Só não pode ser igual à faixa D
→ 2 possibilidades
🔢 Total:
3 × 2 × 1 × 1 × 2 = 12
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 1 × 2 × 1 × 1 × 2 → ❌ Começa errado (1 no lugar de 3)
B) 3 × 2 × 1 × 1 × 2 → ✅ Correto!
C) 3 × 2 × 1 × 2 × 3 → ❌ Não respeita as restrições (C e D não têm 2 ou 3 opções!)
D) 3 × 2 × 1 × 2 × 2 → ❌ Superestima opções em D
E) 3 × 2 × 2 × 2 × 2 → ❌ Considera escolhas livres, ignorando restrições
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ Com 3 cores disponíveis e a exigência de não repetir cor em faixas adjacentes, temos que restringir a escolha de cada faixa com base nas anteriores.
Ao aplicar o princípio multiplicativo com atenção às restrições:
Total = 3 × 2 × 1 × 1 × 2 = 12 maneiras distintas
✅ Gabarito: Letra B
