Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?
A) 6
B) 8
C) 14
D) 24
E) 30
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Geometria Espacial (Poliedros), Topologia de Superfícies
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: C) 14
🎯 Objetivo Geral: Determinar quantas faces restam num cubo após recortar cada vértice, usando conceitos de poliedros.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira‐se o canto… Cada face do poliedro P é pintada usando uma cor distinta… Quantas cores serão utilizadas?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Contar o número total de faces do poliedro resultante (o cubo com os cantos cortados).
1.3 Objetivo Cristalino
📌 Reconhecer que cada vértice cortado remove a antiga interseção e cria uma nova face triangular, sem eliminar as faces originais — portanto, somar as faces originais do cubo às faces novas.
1.4 Palavras‐Chave
📌 “cubo” (6 faces, 8 vértices), “corte em cada canto” (8 cortes), “tetraedro de arestas menores” (cada corte gera uma face triangular).
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra quantas faces e vértices um cubo tem antes de qualquer corte? (Dica: faces = 6, vértices = 8)
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- 📌 Cubo: poliedro com 6 faces quadradas, 8 vértices, 12 arestas.
- 📌 Corte de vértice: remove um “pico” em forma de tetraedro, cria no lugar uma nova face triangular para cada vértice.
- 📌 Poliedro P: faces originais mantidas, acrescidas das faces dos tetraedros removidos.
❓ Dúvida Comum
“As faces originais mudam de forma?”
✔ Sim — elas perdem o canto, tornando-se octógonos (caso o corte seja < metade da aresta), mas continuam sendo uma face cada.
🔹 Passo 3: Tradução e Interpretação do Raciocínio
- O cubo inicial tem 6 faces.
- Há 8 vértices no cubo.
- Ao cortar cada vértice, uma face triangular substitui o tetraedro removido.
- Nada elimina face original — apenas modifica seu contorno.
- Logo, o total de faces em P = (faces originais) + (faces geradas por cortes).
🔹 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio (Cálculos)
- Faces originais do cubo:
F₀ = 6 - Vértices do cubo (quantos cortes serão feitos):
V = 8 - Cada corte gera exatamente 1 nova face triangular.
⇒ Novas faces = V = 8 - Total de faces do poliedro P:
F_total = F₀ + V
F_total = 6 + 8 = 14
🔹 Passo 5: Análise das Alternativas
A) 6
- Só conta as faces originais, ignorando as 8 novas. ❌
B) 8
- Contaria apenas as faces adicionadas pelos cortes, mas esqueceria as originais. ❌
C) 14
- Correto: 6 faces originais + 8 faces triangulares dos cortes = 14. ✅
D) 24
- Poderia ser 6×4, hipótese de multiplicar sem base lógica; não corresponde à soma real. ❌
E) 30
- Talvez alguém somasse arestas e vértices junto às faces, mas não faz sentido para poliedro P. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
📌 Um cubo tem 6 faces; ao cortar cada um de seus 8 vértices, adicionamos 8 faces triangulares. Assim, passamos de 6 para 14 faces.
6.2 Alternativa Correta
✅ C) 14
6.3 🔍 Resumo Final
Para qualquer poliedro obtido cortando‐se os vértices de um cubo, basta somar as faces originais (6) às dos tetraedros removidos (8): 6 + 8 = 14.
