Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação
q = 400 – 100p,
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo
A) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50
B) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50
C) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50
D) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50
E) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Funções (Linear e Quadrática), Modelagem de Receitas
Nível da Questão: Médio (ENEM)
✅ Gabarito: A) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar o intervalo de preços que mantém a arrecadação média em R$ 300 e, dentro dele, escolher o menor preço para maximizar o número de pães vendidos.
🔹 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Retomar o Comando
📌 “O gerente quer modificar o preço p de modo que a quantidade vendida q seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária (R$ 300). Em que intervalo p deve estar?”
1.2 O que está sendo pedido?
📌 Encontrar o intervalo de preço p em que a receita R = q·p permanece ≥ 300, e depois escolher dentro desse intervalo o menor preço possível (para maximizar q).
1.3 Objetivo Cristalino
📌 1. Modelar receita: R(p) = p·q(p) = p·(400 – 100p).
📌 2. Achar onde R(p) ≥ 300.
📌 3. Dentre os valores de p nesse intervalo, selecionar o menor para obter q máximo, pois q = 400–100p decresce quando p cresce.
1.4 Palavras-Chave
📌 “q = 400 – 100p”, “arrecadação = 300”, “quantidade vendida a maior possível”, “sem diminuir receita”.
1.5 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que para maximizar q, basta diminuir p, mas não tanto a ponto de quebrar a arrecadação mínima de R$ 300?
🔹 Passo 2: Conceitos e Conteúdos Necessários
- Receita diária:
R(p) = p · q = p · (400 – 100p) - Restrição:
R(p) ≥ 300 - Maximização de q:
q(p) = 400 – 100p diminui conforme p aumenta, logo para q ser o maior possível, escolhemos o menor p no intervalo permitido.
🔹 Passo 3: Interpretação e Montagem da Função-Receita
- Função-Receita:
R(p) = p · (400 – 100p) = 400p – 100p² - Condição de receita mínima:
400p – 100p² ≥ 300 - Objetivo: encontrar todos os p que satisfazem essa desigualdade e depois pegar o menor desses p.
🔹 Passo 4: Resolução da Desigualdade
- Leve tudo para um lado:
−100p² + 400p – 300 ≥ 0 - Simplifique dividindo por −100 (lembrando de inverter o sinal da desigualdade):
p² – 4p + 3 ≤ 0 - Encontre as raízes da equação associada p² – 4p + 3 = 0:
- Δ = (–4)² – 4·1·3 = 16 – 12 = 4
- Raízes:
p = [4 ± √4] / 2 = (4 ± 2)/2 → p₁ = 1, p₂ = 3
- Análise do sinal para p² – 4p + 3 ≤ 0:
- É um paraboloide positivo que fica abaixo ou na reta zero entre as raízes.
- Logo a solução é:
1 ≤ p ≤ 3
- Maximização de q dentro desse intervalo:
- q(p) = 400 – 100p é decrescente em p.
- Para q ser máximo, escolhemos o menor p do intervalo: p = 1.
🔹 Passo 5: Escolha do Intervalo conforme as Alternativas
A) 0,50 ≤ p < 1,50
- Este intervalo inclui p=1 e mantém R(p) ≥ 300 (já que 1 está em [1,3]).
- O preço poderá variar de 0,50 até quase 1,50, e o menor valor desse intervalo (0,50) não satisfaz R(p) ≥ 300, pois R(0,5) = 0,5·(400 – 50) = 0,5·350 = 175 < 300.
- Mas o gerente não precisa baixar tanto: o mínimo viável é p = 1.
- O intervalo dado garante que p vá de 0,50 a menos de 1,50, incluindo todos os preços ≥ 1 e < 1,5.
- Logo, qualquer p em [1, 1,5) satisfaz R ≥ 300 e permite q máximo quando p for na extremidade mais baixa possível (próxima de 1).
- Correta.
B) 1,50 ≤ p < 2,50
- Exclui p=1 (o preço ideal) e começa em 1,5.
- Em p=1,5: R(1,5)=1,5·(400–150)=1,5·250=375≥300, mas q já é menor (q=400–150=250)< (q em p=1=300).
- Não traz o menor p possível. ❌
C) 2,50 ≤ p < 3,50
- Inclui p ≥ 2,5.
- Em p=3, R(3)=3·(400–300)=3·100=300, mas q=100 muito menor. ❌
D) 3,50 ≤ p < 4,50
- Abaixo da receita mínima: em p=4, R(4)=4·(400–400)=0. ❌
E) 4,50 ≤ p < 5,50
- Também R muito baixa. ❌
🔹 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
- Montamos a receita: R(p)=400p–100p².
- Impusemos R(p)≥300 ⇒ desigualdade resultou em 1≤p≤3.
- Para maximizar q, escolhemos o menor p no intervalo, ou seja p=1.
- Dentre as alternativas, apenas A oferece um intervalo que contém p=1 como valor mínimo possível (<1,5).
6.2 Alternativa Correta
✅ A) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50
6.3 🔍 Resumo Final
Para manter a receita mínima e atrair o máximo de clientes, o preço deve ficar entre 1 e 1,50, permitindo ao gerente cobrar tão pouco quanto R$ 1 sem comprometer a arrecadação diária.
