Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto.
A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- FÍSICA – Gravitação e Dinâmica Circular:
- Força gravitacional
- Movimento circular uniforme
- Relação entre força centrípeta e gravitacional
- Constante gravitacional G
- Manipulação algébrica de fórmulas
📔 Nível da Questão:
- Difícil — exige articulação entre diferentes conceitos físicos (dinâmica + gravitação + MCU), manipulação de equações com grandezas universais e leitura atenta do contexto astronômico. Apesar de não exigir números, a resolução exige visão conceitual e algébrica bem estruturada.
✅ Gabarito:
- ✅ Letra D
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Estimação da massa de um corpo celeste (buraco negro) a partir da órbita de um corpo em movimento circular uniforme – Gravitação Universal.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 COMANDO DA QUESTÃO:
“A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional G, a massa do buraco negro é”
🔍 O QUE ESTÁ SENDO PEDIDO?
A fórmula que permite calcular a massa M do buraco negro com base nos dados observacionais da órbita de uma estrela.
🎯 OBJETIVO CRISTALINO:
Relacionar o movimento circular uniforme do corpo celeste com a força gravitacional para obter uma expressão que isole a massa do corpo central (buraco negro).
❓ PERGUNTA DE ATENÇÃO:
Você percebeu que a força gravitacional atua como força centrípeta para manter o objeto em órbita?
💬 DÚVIDA COMUM:
–> “Posso usar a fórmula F = m · a aqui mesmo que o movimento seja astronômico?”
📌 Sim! A física clássica se aplica desde que o movimento seja circular e uniforme. Nesse caso, a força resultante é centrípeta e é provocada pela gravidade.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
✔️ Força Gravitacional (Newton):
Dois corpos se atraem com força:F = G · M · m / R²
Onde:
- M = massa do buraco negro
- m = massa do corpo em órbita
- R = raio da órbita
- G = constante gravitacional
✔️ Força Centrípeta:
Corpo em movimento circular uniforme precisa de uma força dirigida para o centro:F = m · v² / R
✔️ Velocidade no MCU:v = 2πR / T
(T é o período)
💡 A ideia central da questão é igualar a força centrípeta à força gravitacional, pois ambas são a mesma força aqui, e assim obter uma fórmula para M.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 A questão informa:
- Um objeto (como uma estrela) orbita o buraco negro em movimento circular uniforme
- Sabemos o raio médio da órbita (R)
- Sabemos o período de rotação (T)
- Sabemos a constante G
Nosso objetivo é usar essas informações para obter uma fórmula para a massa M do buraco negro, ou seja:M = ?
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo 1 – Velocidade do corpo em órbita:
A distância percorrida em uma volta completa é:ΔS = 2πR
Tempo: T
Logo:v = 2πR / T
Passo 2 – Força centrípeta:
F_c = m · v² / R
Substituindo v:F_c = m · (2πR / T)² / RF_c = m · (4π²R² / T²) / RF_c = m · 4π²R / T²
Passo 3 – Força gravitacional:
F_g = G · M · m / R²
Passo 4 – Igualando as forças (pois é a força gravitacional que faz o corpo girar):
F_c = F_g
m · 4π²R / T² = G · M · m / R²
⚠️ Podemos cortar o m dos dois lados:
4π²R / T² = G · M / R²
Multiplicando ambos os lados por R²:
4π²R³ / T² = G · M
Isolando M:
M = 4π²R³ / (G · T²)
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) 4πR² / GT²
❌ Incorreto – erro no expoente de R
B) πR⁵ / GT²
❌ Incorreto – erro grosseiro de expoente
C) R³ / 2GT²
❌ Incorreto – falta o fator 4π²
D) 4π²R³ / GT²
✅ Correta – é exatamente a equação que encontramos
E) π²R³ / GT²
❌ Incorreto – faltou o fator 4 no numerador
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ A massa do buraco negro é estimada pela equação:
M = (4π² · R³) / (G · T²)
Essa fórmula foi obtida igualando a força centrípeta (movimento circular) à força gravitacional (atração do buraco negro). A alternativa correta é a letra D.
