As Artes Marciais Mistas, tradução do inglês: MMA – mixed martial arts, são realizadas num octógono regular. De acordo com a figura, em certo momento os dois lutadores estão respectivamente nas posições G e F, e o juiz está na posição I. O triângulo IGH é equilátero e GÎF é o ângulo formado pelas semirretas com origem na posição do juiz, respectivamente passando pelas posições de cada um dos lutadores.
A medida do ângulo GÎF é
A) 120°
B) 75°
C) 67,5°
D) 60°
E) 52,5°
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Polígonos Regulares e Triângulos)
📔 Nível da Questão:
- Médio (padrão ENEM)
✅ Gabarito:
- Alternativa E
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Aplicar conhecimentos sobre ângulos internos de polígonos e propriedades dos triângulos para determinar medidas de ângulos em figuras geométricas compostas.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“A medida do ângulo GÎF é?”
📌 Explicação detalhada:
O problema envolve analisar ângulos formados em um octógono regular e a composição de dois triângulos, sendo que um deles (IGH) é equilátero. O objetivo é determinar o valor do ângulo central GÎF, formado pelas posições dos lutadores e do juiz.
📌 Palavras-chave:
- Octógono regular
- Triângulo equilátero
- Triângulo isósceles
- Medida de ângulo
📌 Objetivo:
Calcular a medida exata do ângulo GÎF considerando as relações geométricas descritas.
➡️ Agora que o objetivo está claro, vamos relembrar os conceitos essenciais!
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Propriedades do octógono regular:
- Todos os lados e ângulos internos são iguais.
- A medida de cada ângulo interno de um polígono regular é dada por: Fórmula:
Ângulo interno = (n – 2) × 180 ÷ n
(onde n é o número de lados)
📌 Triângulo Equilátero:
- Todos os lados e ângulos são iguais.
- Cada ângulo interno mede 60°.
📌 Triângulo Isósceles:
- Possui dois lados iguais e dois ângulos iguais.
- A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°.
✔ Resumo das ferramentas:
- Calcular ângulos internos do octógono
- Aplicar propriedades dos triângulos equilátero e isósceles.
➡️ Com os conceitos organizados, vamos interpretar os dados da figura!
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Dados importantes:
- O triângulo IGH é equilátero (todos os lados e ângulos iguais a 60°).
- O octógono é regular, logo todos os lados são iguais.
📌 Análise da estrutura:
- Como GH é lado do octógono, e IG = GH (pois IGH é equilátero), então:
- GH = GI
- Como GH = GF (lados consecutivos do octógono regular), temos GI = GF.
- Assim, o triângulo GIF é isósceles com base FI.
📌 Conclusão:
- GÎF é um dos ângulos iguais do triângulo isósceles GIF.
➡️ Agora, vamos desenvolver o raciocínio passo a passo!
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 1º Passo – Calcular o ângulo FGH (ângulo interno do octógono):
- Usando a fórmula: Ângulo interno = (8 – 2) × 180 ÷ 8 = 135°
✔ Cada ângulo interno do octógono mede 135°.
📌 2º Passo – Determinar o ângulo IGF:
- Como IGH é um triângulo equilátero (ângulo interno = 60°):
- FGH é 135°, mas queremos apenas a parte referente a IGF:
IGF = FGH – IGH
IGF = 135° – 60° = 75°
✔ O ângulo IGF mede 75°.
📌 3º Passo – Determinar GÎF:
- No triângulo GIF:
- IGF + GÎF + GFI = 180°
- Como GÎF = GFI (triângulo isósceles), temos:
IGF + 2 × GÎF = 180°
Substituindo IGF = 75°: 75° + 2 × GÎF = 180°
2 × GÎF = 105°
GÎF = 52,5°
✔ A medida do ângulo GÎF é 52,5°.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas apresentadas:
- A) 120° ❌ (muito grande para o triângulo)
- B) 75° ❌ (corresponde a outro ângulo do triângulo)
- C) 67,5° ❌ (não condiz com a divisão correta)
- D) 60° ❌ (relacionado ao triângulo equilátero IGH)
- E) 52,5° ✅ (correto!)
✅ Justificativa da alternativa correta (E): O ângulo GÎF, que procuramos, é de 52,5°, conforme determinado pelo raciocínio passo a passo aplicando propriedades de triângulos.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do raciocínio:
- Calculamos o ângulo interno do octógono (135°).
- Subtraímos o ângulo do triângulo equilátero (60°) para encontrar IGF (75°).
- Usamos as propriedades do triângulo isósceles para determinar GÎF (52,5°).
📌 Reafirmação da alternativa correta: O valor correto para o ângulo GÎF é 52,5°, o que confirma a alternativa E.
🔍 Resumo Final: No octógono regular, combinando propriedades de triângulos equiláteros e isósceles, o ângulo GÎF foi determinado com segurança como 52,5°.
✅ Gabarito final: Alternativa E
