A prefeitura de uma cidade está renovando os canteiros de flores de suas praças. Entre as possíveis variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, todos com composições diferentes, serão utilizadas somente três variedades distintas, não importando como elas serão dispostas.
Um funcionário deve determinar os trios de variedades de flores que irão compor cada canteiro.
De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é dada por
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Análise Combinatória (Combinação Simples), Fatorial.
📔 Nível da Questão:
Fácil
✅ Gabarito:
E) 5! / (5 − 3)!3!
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Calcular o número de grupos de 3 flores que podem ser formados a partir de 5 opções distintas, sem se importar com a ordem.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“A quantidade de trios possíveis é dada por…”
📌 Explicação Detalhada:
Sabemos que temos 5 flores disponíveis, e queremos formar trios de flores distintas, sem se importar com a ordem em que elas são escolhidas.
📌 Palavras-chave:
“Três variedades distintas”, “não importando como elas serão dispostas” → isso indica que estamos lidando com combinação, e não com permutação ou arranjo.
📌 Objetivo:
Aplicar a fórmula da combinação com n = 5 e k = 3.
⚠️ Dica Geral: Sempre que a ordem não importa, usamos combinação:
✔ Combinação (n, k) = total de formas de escolher k elementos de um grupo de n, sem se importar com a ordem.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 1. Diferença entre permutação, arranjo e combinação:
- Permutação: usa todos os elementos e a ordem importa
- Arranjo: usa parte dos elementos e a ordem importa
- Combinação: usa parte dos elementos e a ordem NÃO importa
📌 2. Fórmula da combinação:
Combinação de n elementos tomados k a k = n! / (n − k)!k!
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Temos:
- n = 5 flores distintas
- k = 3 escolhidas para cada canteiro
- A ordem não importa → combinação
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Aplicando a fórmula da combinação com n = 5 e k = 3:
📌 C(5, 3) = 5! / (5 − 3)!3!
📌 Ou seja:
C(5, 3) = 5! / 2!3!
✔ Essa é a forma correta da resposta algébrica, sem necessidade de efetuar os cálculos numéricos, pois a questão quer a fórmula representada.
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) 5 → ❌ Simples demais, não aplica fórmula
📌 B) 5 × 3 → ❌ Indica arranjo (ordem importando)
📌 C) 5! / (5 − 3) → ❌ Faltou o divisor 3!
📌 D) 5! / (5 − 3)!2! → ❌ Colocou o fatorial errado (é 3!, não 2!)
📌 E) 5! / (5 − 3)!3! → ✅ ✔️ Correta!
✅ Alternativa correta: E
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Queremos formar grupos de 3 flores, escolhidas entre 5, sem considerar a ordem. Isso caracteriza uma combinação simples. A fórmula aplicada foi:
C(5, 3) = 5! / (5 − 3)!3!
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa E – 5! / (5 − 3)!3!
🔍 Resumo Final:
A clareza entre situações em que a ordem importa ou não importa é crucial. Neste caso, tratava-se de combinação, e a fórmula foi corretamente aplicada e identificada.
