Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentar a capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como aproximação para π.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (volume do cilindro), Aplicação de raiz quadrada.
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
Alternativa A
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Aplicar a fórmula do volume do cilindro em um problema contextualizado e determinar o aumento necessário na medida do raio para comportar mais peixes.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de:”
📌 Explicação Detalhada:
O problema envolve calcular o volume inicial e volume final de um tanque cilíndrico que precisa abrigar mais peixes. A profundidade é constante, e devemos descobrir quanto o raio precisa aumentar para acomodar os novos peixes.
📌 Palavras-chave:
Tanque cilíndrico, raio, profundidade constante, aumento, volume.
📌 Objetivo:
Calcular a diferença entre o novo raio e o raio atual do tanque.
⚠️ Dica Geral: Sempre que o volume de um cilindro é envolvido e há menção de “não alterar a profundidade”, a variável que muda é o raio. Use a fórmula do volume:
Volume = π × raio² × altura
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Fórmulas importantes:
✔ Volume do cilindro:
V = π × r² × h
📌 Relação entre peixes e volume:
O problema indica que cada metro cúbico suporta 5 peixes, logo:
✔ Volume necessário = número de peixes / 5
📌 Conversão entre número de peixes e volume ajuda a transformar a questão em um problema algébrico simples.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Volume atual com 750 peixes:
750 / 5 = 150 m³
📌 Volume desejado com 900 peixes:
900 / 5 = 180 m³
📌 Profundidade do tanque (altura do cilindro):
h = 2 m
📌 π (pi):
Use a aproximação π = 3, como sugerido.
Queremos saber o raio atual e o raio novo, e então calcular a diferença entre eles.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Volume do cilindro:
V = π × r² × h
🔹 Raio atual (r₁):
3 × x² × 2 = 150
6x² = 150
x² = 25
x = 5
🔹 Raio novo (r₂):
3 × r² × 2 = 180
6r² = 180
r² = 30
r = √30
📌 Aumento no raio:
r₂ – r₁ = √30 – 5
✅ Alternativa correta: A
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) ✅ √30 – 5 → Correto: representa exatamente a diferença entre o novo e o antigo raio.
📌 B) ❌ (√30 – 5) / 2 → Metade do valor correto.
📌 C) ❌ √5 → Valor não tem relação com o volume calculado.
📌 D) ❌ 5 / 2 → Valor fixo, não faz sentido com o raciocínio com raízes.
📌 E) ❌ 15 / 2 = 7,5 → Não condiz com nenhum resultado da questão.
✅ Conclusão: A alternativa correta é a A.
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- O volume do tanque depende do raio e da altura.
- A profundidade (altura) foi mantida, então o aumento de volume vem de um aumento no raio.
- O volume inicial foi usado para encontrar o raio atual (5 m).
- O volume final levou ao novo raio (√30).
- A diferença é √30 – 5
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
Alternativa A – √30 − 5
🔍 Resumo Final:
A questão pediu o aumento do raio necessário para comportar 900 peixes, dado que o volume é proporcional à quantidade de peixes. Utilizando a fórmula do volume do cilindro e mantendo a profundidade constante, chegamos à resposta correta: √30 − 5.
