Após o término das inscrições de um concurso, cujo número de vagas é fixo, foi divulgado que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, nesta ordem, era igual a 300. Entretanto, as inscrições foram prorrogadas, inscrevendo-se mais 4 000 candidatos, fazendo com que a razão anteriormente referida passasse a ser igual a 400. Todos os candidatos inscritos fizeram a prova, e o total de candidatos aprovados foi igual à quantidade de vagas. Os demais candidatos foram reprovados.
Nessas condições, quantos foram os candidatos reprovados?
A) 11 960
B) 11 970
C) 15 960
D) 15 970
E) 19 960
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Razões e Proporções, Equações do 1º grau, Interpretação Matemática
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
C) 15 960
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
“Quantos foram os candidatos reprovados?”
📌 Explicação Detalhada:
O problema fornece duas razões diferentes entre candidatos e vagas, antes e depois de uma prorrogação das inscrições. A partir dessas razões e da informação de que apenas o número de candidatos mudou (mais 4.000 foram adicionados), devemos descobrir o número de vagas e de candidatos totais, e então, quantos foram reprovados.
📌 Palavras-chave:
razão, candidatos, vagas, prorrogação, aprovados, reprovados
📌 Objetivo:
Descobrir o número de reprovados, ou seja, total de candidatos após a prorrogação menos o número de vagas.
⚠️ Dica Geral:
Quando a questão envolve duas relações com a mesma variável (vagas), e mudança em uma quantidade (candidatos), é comum resolver com sistemas de equações.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Razão entre dois números:
A razão entre candidatos e vagas é dada por: candidatos / vagas
📌 Sistema de Equações:
Utilizamos um sistema com duas equações, com base nas razões antes e depois da prorrogação:
- Antes: candidatos = 300 × vagas
- Depois: candidatos + 4000 = 400 × vagas
📌 Aprovados e Reprovados:
Aprovados = número de vagas
Reprovados = total de candidatos – número de vagas
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Do enunciado:
- Antes da prorrogação:
candidatos / vagas = 300
→ candidatos = 300 × vagas - Após a prorrogação:
(candidatos + 4000) / vagas = 400
→ candidatos + 4000 = 400 × vagas
📌 Aprovados = número de vagas
📌 Reprovados = total de candidatos – vagas
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
🔹 Vamos chamar:
- x = número de candidatos antes da prorrogação
- y = número de vagas
📌 Temos:
- x = 300y
- x + 4000 = 400y
Substituindo (1) na equação (2):
300y + 4000 = 400y
Isolando y:
4000 = 400y – 300y = 100y
y = 40
Agora substituímos em x = 300y:
x = 300 × 40 = 12 000
📌 Total de candidatos após a prorrogação:
x + 4000 = 12 000 + 4000 = 16 000
📌 Sabendo que apenas 40 foram aprovados (vagas):
Reprovados = 16 000 – 40 = 15 960
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) 11 960 → ❌ muito abaixo
📌 B) 11 970 → ❌ ainda abaixo
📌 C) 15 960 → ✅ correta
📌 D) 15 970 → ❌ quase certo, mas errado
📌 E) 19 960 → ❌ muito acima
✅ Alternativa correta: C
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Montamos duas equações com base nas razões fornecidas (300 e 400), e deduzimos o número de vagas e de candidatos. Subtraindo o número de aprovados (igual ao número de vagas) do total de candidatos, chegamos ao número de reprovados.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa C – 15 960 candidatos reprovados
🔍 Resumo Final:
Questão clássica de raciocínio proporcional envolvendo sistemas de equações. A chave está em montar corretamente as equações a partir das razões entre candidatos e vagas.
