Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um Fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:
• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do Fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano:
A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) E.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Juros Compostos e Logaritmos
📝 Tema/Objetivo Geral: Aplicação de função exponencial e uso de logaritmos na análise de rendimento.
📊 Nível da Questão: Médio
🎯 Gabarito: B
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Uma pessoa aplica R$ 200,00 em um fundo que rende 5% ao mês com juros compostos. Ela deseja deixar o dinheiro investido até que o valor duplique. A escolha do plano depende da menor carência possível que atenda esse tempo.
O objetivo é descobrir em quantos meses o valor duplicará e, em seguida, selecionar o plano de carência que atenda a esse tempo sem retirá-lo antes.
✔ Palavras-chave: juros compostos, duplicar valor, mínima carência, logaritmos.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 A fórmula de juros compostos é:
M = M₀ × (1 + i)ᵗ
Onde:
- M é o montante final
- M₀ é o capital inicial
- i é a taxa decimal
- t é o tempo
🔹 Quando o montante dobra, temos:
2 = (1 + i)ᵗ
✔ Para resolver essa equação, usamos logaritmos.
✔ Propriedade fundamental:
log(aᵇ) = b × log a
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
. O capital aplicado é R$ 200,00
. O valor final desejado é R$ 400,00
. A taxa é de 5% ao mês, ou seja, i = 0,05, portanto:
M = 200 × (1,05)ᵗ
Substituindo o valor de M:
400 = 200 × (1,05)ᵗ
Dividindo ambos os lados por 200:
2 = (1,05)ᵗ
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Começamos da equação:
2 = (1,05)ᵗ
🔹 Aplicando logaritmo dos dois lados:
log 2 = log (1,05)ᵗ
✔ Utilizando a propriedade:
log 2 = t × log 1,05
📌 Substituindo os valores aproximados dados:
0,30 = t × 0,02
Agora isolamos o t:
t = 0,30 ÷ 0,02
t = 15
✅ O capital dobrará em 15 meses.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) Plano A → 10 meses
❌ Inferior ao tempo necessário. Não serve.
B) Plano B → 15 meses
✅ Exatamente o tempo calculado. Ideal.
C) Plano C → 20 meses
❌ Serve, mas não é o de menor carência.
D) Plano D → 28 meses
❌ Muito acima. Desnecessário.
E) Plano E → 40 meses
❌ Muito além do necessário.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 O cálculo com juros compostos mostrou que o capital dobrará em 15 meses. Logo, o plano mais adequado é o de menor carência possível que respeite esse tempo, ou seja, Plano B.
🔍 Resumo Final: Como 2 = (1,05)ᵗ leva a t = 15 meses, a melhor escolha é o plano com carência de 15 meses, garantindo que o valor dobre sem violar o prazo mínimo.
✅ Alternativa correta: B.
