Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.
Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 4,00, e “C” pagou com R$ 30,00 e obteve troco de R$ 5,40.
A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de
A) 8,10.
B) 10,00.
C) 11,40.
D) 12,00.
E) 13,20.
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Álgebra (Sistemas de Equações Lineares).
Raciocínio Lógico (Manipulação de Equações).
Tema/Objetivo Geral:
Resolver um problema de compras descobrindo o valor de uma combinação específica de itens (1 arroz + 2 macarrões), utilizando um sistema de equações formado pelos gastos de três personagens.
Nível da Questão
Médio.
Exige a montagem do sistema e, para ser rápido, uma sacada de manipulação algébrica (subtração de equações) em vez de calcular o preço individual de cada item (o que daria muito mais trabalho).
Gabarito
Letra C (R$ 11,40).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O personagem “A” fez uma compra para a vizinha: 1 kg de Arroz e 2 kg de Macarrão. Ele precisa saber quanto cobrar dela.
Temos os dados das compras de três amigos (A, B e C), mas não sabemos os preços unitários.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que temos três cestas básicas com preços conhecidos (o que pagaram menos o troco).
- Cesta A: 3 Arroz + 2 Feijão + 4 Macarrão.
- Cesta B: 2 Arroz + 3 Feijão + 3 Macarrão.
- Cesta C: 2 Arroz + 2 Feijão + 2 Macarrão.
Queremos saber o preço de uma “mini-cesta” contendo apenas 1 Arroz e 2 Macarrão. O segredo é misturar as cestas grandes (somar ou subtrair) para que sobre apenas a mini-cesta desejada.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Limpar os Dados: Calcular quanto cada amigo realmente gastou (Valor Pago – Troco).
- Montar o Sistema: Escrever as equações das cestas A, B e C.
- O Atalho Ninja: Olhar para as equações e ver se alguma subtração direta nos dá a resposta (1A + 2M), evitando descobrir o preço do feijão.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a Álgebra Linear.
Variáveis:
- A = Preço do Arroz.
- F = Preço do Feijão.
- M = Preço do Macarrão.
Ferramenta Principal: Operações entre Linhas.
Podemos somar ou subtrair equações inteiras.
Exemplo: (Equação 1) – (Equação 2).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos organizar a bagunça.
1. Calculando os Gastos Reais (O Valor da Cesta)
- Amigo A: Deu 40, recebeu 4 de troco.
Gasto Real = 40 – 4 = R$ 36,00.
Equação A: 3A + 2F + 4M = 36 - Amigo B: Deu 40, recebeu 7,30 de troco.
Gasto Real = 40 – 7,30 = R$ 32,70.
Equação B: 2A + 3F + 3M = 32,70 - Amigo C: Deu 30, recebeu 5,40 de troco.
Gasto Real = 30 – 5,40 = R$ 24,60.
Equação C: 2A + 2F + 2M = 24,60
2. O Foco no Objetivo
Queremos descobrir o valor de 1A + 2M (sem feijão).
3. O Golpe de Mestre (A Subtração)
Olhe para a Equação A e para a Equação C.
- Eq A: 3A + 2F + 4M = 36
- Eq C: 2A + 2F + 2M = 24,60
Note que ambas têm 2F (2kg de feijão). Se subtrairmos uma da outra, o feijão desaparece! Vamos ver o que sobra.
(Eq A) – (Eq C)
(3A – 2A) + (2F – 2F) + (4M – 2M) = 36 – 24,60
- 3A – 2A = 1A
- 2F – 2F = 0 (Tchau, feijão!)
- 4M – 2M = 2M
Sobra exatamente: 1A + 2M.
Isso é exatamente o que a vizinha pediu!
4. Calculando o Valor
36,00 – 24,60 = 11,40.
Logo:
1A + 2M = R$ 11,40.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O caminho mais longo (e perigoso) é tentar descobrir o preço de cada item individualmente (resolver o sistema completo por escalonamento ou substituição). Você acharia A=3, F=4,5, M=4,5 (valores hipotéticos para ilustrar), mas perderia 10 minutos fazendo contas com decimais e a chance de errar uma vírgula seria enorme. Sempre procure o atalho da subtração antes de tentar resolver tudo.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Subtraímos a compra do C da compra do A. O resultado foi a compra da vizinha.
- Expectativa: Procurar o valor 11,40.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 8,10.
Diagnóstico do Erro: Diferença B e C.
O aluno subtraiu a cesta B da cesta C (32,7 – 24,6 = 8,1). Mas isso resultaria em “1 Feijão + 1 Macarrão”, e não o pedido da vizinha.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 10,00.
Diagnóstico do Erro: Chute ou arredondamento grosseiro.
Valor “redondo”, atraente para quem não sabe fazer a conta com decimais.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 11,40.
Análise de Correspondência:
Resultado exato da subtração direta entre o total pago por A e o total pago por C, que isola perfeitamente os itens desejados (1 Arroz e 2 Macarrão).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 12,00.
Diagnóstico do Erro: Erro de Subtração.
Se o aluno fizesse 36 – 24 = 12 (arredondando o 24,60 para baixo), chegaria aqui.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 13,20.
Diagnóstico do Erro: Combinação Errada.
Talvez o aluno tenha tentado somar ou subtrair partes da equação B de forma equivocada.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa C, pois a diferença algébrica entre a cesta de compras de “A” e a de “C” elimina a variável do feijão e resulta exatamente na combinação de itens (1 Arroz + 2 Macarrão) que a vizinha encomendou.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se eu tiro a Cesta C de dentro da Cesta A, o feijão some e sobra só o pedido da vizinha.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esta técnica de “combinação linear” é a base da Álgebra Linear Computacional. Computadores resolvem sistemas com milhões de variáveis (como previsão do tempo ou renderização de gráficos 3D) não encontrando o valor de cada pixel um por um, mas manipulando linhas inteiras de matrizes para simplificar o problema. O que fizemos foi uma operação elementar de matrizes.
