Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.
Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?
A) 12,0
B) 8,5
C) 6,0
D) 3,0
E) 2,5
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Área do Círculo).
Radiciação e Estimativa Numérica.
Interpretação de Texto (Modelagem Matemática).
Tema/Objetivo Geral:
Compreender a relação não-linear entre o raio e a área de um círculo. O objetivo é calcular o incremento necessário no raio para que a área duplique.
Nível da Questão
Médio.
Embora a matemática seja básica, a questão exige atenção a dois detalhes cruciais: somar o tamanho da lâmina ao cabo inicial e saber estimar a raiz quadrada de 72.
Gabarito
Letra E.
O cálculo mostra que para dobrar a área, precisamos de um raio final aproximado de 8,5m. Como já temos 6m, faltam 2,5m de cabo extensor.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede o comprimento de um pedaço extra de fio (extensor) necessário para que a área total cortada pelo cortador de grama seja exatamente o dobro da área atual.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma pizza pequena. Você quer uma pizza com o dobro de massa (dobro da área).
Se você simplesmente dobrar o diâmetro da pizza, ela ficará gigante (quatro vezes maior). O desafio aqui é descobrir o quanto a pizza precisa crescer “só um pouquinho” nas bordas para ter exatamente o dobro de recheio.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Definir o Raio Atual: Somar o cabo + lâmina.
- Calcular a Área Atual: Usar a fórmula clássica.
- Calcular a Área Meta: Multiplicar a área atual por 2.
- Engenharia Reversa do Raio: Descobrir qual raio gera essa “Área Meta”.
- A Subtração Final: A diferença entre o “Raio Novo” e o “Raio Velho” é o nosso extensor.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Dossiê: A Relação Quadrática
A ferramenta central aqui é a fórmula da área do círculo:
A = π . r²
O segredo de detetive é entender a Potência:
Como o raio está ao quadrado, pequenas mudanças no raio geram grandes mudanças na área.
- Se dobrarmos o raio (2x), a área quadruplica (4x).
- Para dobrar a área (2x), o raio deve aumentar apenas raiz de 2 vezes (aproximadamente 1,4x).
Ilustração Mental:
Imagine o círculo atual. O novo círculo será um anel concêntrico ao redor dele. Queremos saber a largura desse anel extra.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos seguir o plano rigorosamente.
1. O Raio Atual (O Ponto de Partida):
O texto diz: Cabo de 5m + Lâmina de 1m.
Raio Inicial (R1) = 6 metros.
2. A Área Atual:
A1 = π . 6²
A1 = 36π m²
3. A Área Meta (O Dobro):
A2 = 2 . 36π
A2 = 72π m²
4. Descobrindo o Novo Raio (R2):
Agora, perguntamos: Que raio gera uma área de 72π?
π . (R2)² = 72π
Cortamos o π dos dois lados:
(R2)² = 72
R2 = √72
O Pulo do Gato Matemático (Estimativa):
Não precisamos de calculadora. Vamos cercar o número:
√64 = 8
√81 = 9
O número 72 está quase no meio do caminho entre 64 e 81 (levemente mais perto do 81?).
Uma estimativa segura é 8,5.
(Se quiser ser preciso: √72 = √(36.2) = 6√2. Como √2 é aprox 1,41, então 6 . 1,41 = 8,46).
Vamos usar 8,5 m.
5. Calculando o Extensor:
Nós já temos 6 metros de alcance (cabo + lâmina). Precisamos chegar a 8,5 metros.
Extensor = Novo Raio – Raio Antigo
Extensor = 8,5 – 6,0
Extensor = 2,5 metros
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais sedutor aqui é pensar linearmente: “Se eu quero o dobro da área, preciso do dobro do raio”.
Se você dobrar o raio para 12m, a área seria 144π (quatro vezes maior). A natureza não funciona em linha reta quando falamos de áreas!
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: O novo raio deve ser √72 (aprox. 8,5m). Subtraindo os 6m originais, sobram 2,5m.
Expectativa: Procuramos a alternativa que indique 2,5.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 12,0
Diagnóstico do Erro: O “Erro Linear”.
O aluno pensa: “Se o raio atual é 6, para dobrar a área eu dobro o raio para 12”. Depois subtrai 12 – 6 = 6? Não, aqui o aluno provavelmente achou que precisava de mais 6m ou simplesmente marcou o dobro de 6 achando que era a resposta direta do raio. Isso quadruplicaria a área.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 8,5
Diagnóstico do Erro: A Resposta Incompleta (Achou o Todo, esqueceu a Parte).
O aluno fez a conta perfeita, achou o novo raio total (√72 ≈ 8,5), mas esqueceu que a pergunta era sobre o cabo extensor (o adicional), e não o comprimento total.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 6,0
Diagnóstico do Erro: Confusão Conceitual.
O aluno pode ter pensado que para dobrar a área, precisa adicionar um cabo igual ao original (6 + 6 = 12). Volta ao erro da alternativa A.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 3,0
Diagnóstico do Erro: Erro de Aproximação.
Talvez o aluno tenha arredondado √72 para 9 (o que seria √81). 9 – 6 = 3. É um erro de estimativa grosseiro.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 2,5
Análise de Correspondência: Perfeita.
O novo raio total é aprox. 8,5m. Subtraindo os 6m que já existem, precisamos de 2,5m de extensão.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A Alternativa E é a correta pois respeita a lei quadrática das áreas: para dobrar a superfície, aumentamos o raio pelo fator de raiz de 2 (aprox 1,4), o que exige apenas 2,5m a mais de cabo.
Resumo-flash:
“Para a área duplicar, o raio cresce devagar (x 1,4).”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio se aplica à Engenharia de Materiais e Biologia. Por que não existem células gigantes? Porque quando o tamanho (raio) da célula aumenta, o volume (cubo) cresce muito mais rápido que a superfície da membrana (quadrado). A célula morreria de fome pois não conseguiria absorver nutrientes suficientes pela superfície para alimentar seu volume gigante. A matemática do cortador de grama explica a limitação da vida microscópica!
