Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a 11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.
De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de círculo é
A) inferior a 7 m.
B) superior a 7 m e inferior a 14 m.
C) superior a 14 m e inferior a 19 m.
D) superior a 19 m e inferior a 23 m.
E) superior a 23 m.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Plana, Teorema de Pitágoras e Propriedades de Arcos e Cordas).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do comprimento de uma corda de circunferência utilizando a decomposição em triângulos retângulos.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige a capacidade de traduzir um problema do mundo real (um campo de futebol) para uma representação geométrica abstrata.
- O maior desafio está em identificar o triângulo retângulo invisível formado entre o ponto do pênalti, o centro da corda e a extremidade do arco. Além disso, exige uma estimativa de raiz quadrada não exata.
Gabarito: Alternativa C.
- A distância EF é a corda de um círculo de raio 9 m. A distância do centro P até a linha da grande área é de 5 m (16 – 11). Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos que metade da corda mede √56 ≈ 7,48 m, totalizando aproximadamente 14,96 m.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual é a distância em linha reta entre os dois pontos onde o “arco da grande área” toca a linha do retângulo penal.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem um compasso aberto em 9 cm e faz um arco que atravessa a borda de uma folha de papel. O verdadeiro desafio aqui é medir a distância entre os dois furos que o compasso deixou na borda do papel, sabendo a que distância o “furo central” (o ponto do pênalti) está dessa borda.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Localizar o Centro e a Reta: Determinar a distância perpendicular do ponto P até o segmento BC.
- Formar o Triângulo de Investigação: Utilizar o raio do arco como hipotenusa.
- Aplicar Pitágoras: Descobrir o valor de metade da distância EF.
- Dobrar o Resultado: Obter o valor total de EF e comparar com as faixas das alternativas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este aprofundamento exaustivo, vamos organizar nosso Dossiê de Investigação Geométrica para que nenhum detalhe escape.
DOSSIÊ TÉCNICO: ANATOMIA DA ÁREA PENAL
- A Ferramenta de Pitágoras: Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (a² + b² = c²). Aqui, ela será nossa régua para medir o que não podemos ver.
- O Conceito de Corda e Apótema: Em um círculo, a distância do centro até uma corda (EF) forma um ângulo de 90 graus e divide essa corda exatamente ao meio.
- A Pista da Largura (BC): O texto diz que AB mede 16 m. Isso significa que a linha de fundo (AD) e a linha da grande área (BC) estão separadas por essa distância de 16 m.
- A Localização de P: O ponto P está a 11 m de AD. Se a distância total de AD até BC é 16 m, então a distância de P até BC é de 16 – 11 = 5 m.
Uma imagem poderosa pode transformar um conceito abstrato em uma memória inesquecível. A ilustração a seguir foi criada para visualizar a essência da nossa análise, tornando a ideia central clara e impactante:
(A ilustração mostra o ponto P como centro, uma linha de 5 m indo até o meio do segmento EF, e o raio de 9 m conectando P até o ponto E).
(A Geometria por trás do Pênalti)
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora vamos executar os cálculos com rigor cirúrgico. Imagine o triângulo formado pelos pontos P (centro), M (ponto médio de EF) e E (extremidade do arco).
1. Identificando os Lados do Triângulo PME:
- Hipotenusa (PE): É o próprio raio do círculo, dado no texto como 9 m.
- Cateto 1 (PM): É a distância do ponto P até a linha BC. Como calculamos, 16 – 11 = 5 m.
- Cateto 2 (ME): É a metade da distância que queremos encontrar. Vamos chamá-la de x.
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
x² + 5² = 9²
x² + 25 = 81
x² = 81 – 25
x² = 56
3. Estimando o Valor de x:
Sabemos que x = √56.
Como 7² = 49 e 8² = 64, o valor de x está entre 7 e 8.
Mais precisamente, √56 ≈ 7,48 m.
4. Calculando a Distância Total EF:
A distância EF é o dobro de x (pois o triângulo cobre apenas metade da corda).
EF = 2 * 7,48 ≈ 14,96 m.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno encontrar x = 7,48 e marcar imediatamente a Alternativa B (que diz “superior a 7 e inferior a 14”). A armadilha mais sedutora é esquecer que o cálculo do triângulo retângulo fornece apenas metade da corda. O detetive atento sempre se pergunta: “Eu encontrei o segmento inteiro ou apenas um pedaço dele?”. Não se esqueça de dobrar o valor!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Através de Pitágoras, descobrimos que metade da corda mede aproximadamente 7,48 m. O valor total é de quase 15 metros.
- Expectativa: O valor de EF deve estar na faixa entre 14 m e 19 m.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) inferior a 7 m.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter errado a subtração inicial (16-11) ou confundido o raio com o diâmetro.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Processamento de Dados.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) superior a 7 m e inferior a 14 m.
- A Narrativa do Erro: Este é o erro mais frequente. O aluno calcula a raiz de 56 corretamente (≈ 7,48), mas esquece de multiplicar por 2 para obter a corda completa.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreveu a parte, não o todo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) superior a 14 m e inferior a 19 m.
- Análise de Correspondência: Nosso cálculo resultou em aproximadamente 14,96 m. Este valor encaixa-se perfeitamente neste intervalo, sendo maior que 14 e menor que 19.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) superior a 19 m e inferior a 23 m.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter somado o raio com a distância (9+11 ou 9+16) de forma aleatória sem aplicar a geometria correta.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (Uso de lógica aritmética simples em problema geométrico).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) superior a 23 m.
- A Narrativa do Erro: Pode ocorrer se o aluno confundir o raio (9) com o diâmetro (18) e tentar aplicar Pitágoras com valores trocados, gerando um resultado inflado.
- Diagnóstico do Erro: Erro Conceitual sobre Elementos do Círculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação foi concluída com a vitória da Alternativa C. O futebol é um celeiro de geometria aplicada!
Resumo-flash (A Imagem Mental): Metade da corda é o cateto de um triângulo onde o raio é a hipotenusa; calcule, dobre e vença.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo cálculo de cordas e arcos é utilizado na Arquitetura Civil para desenhar Arcos de Pontes e Cúpulas de Igrejas. Se um engenheiro precisa saber a largura de uma janela em arco, ele utiliza exatamente o mesmo Teorema de Pitágoras, relacionando a profundidade do arco com o seu raio de curvatura. A matemática que define o limite onde os jogadores podem ficar no pênalti é a mesma que garante que uma ponte não desabe!
