Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a 1/10 de apresentar funcionamento irregular. O administrador do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos uma das duchas adquiridas apresente funcionamento regular seja igual a, no mínimo, 99/100 .
A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é
A) 2.
B) 8.
C) 9.
D) 10.
E) 11.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Probabilidade de Eventos Independentes e Probabilidade do Evento Complementar).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo da probabilidade de ocorrência de pelo menos um evento favorável em uma série de experimentos independentes.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o aluno saiba usar a estratégia do complementar. Tentar calcular “pelo menos um regular” de forma direta (testando um regular, dois regulares, etc.) é um caminho exaustivo e complexo.
- O desafio está em converter a linguagem do problema (“pelo menos uma regular”) em uma inequação matemática de exclusão do cenário indesejado.
Gabarito: Alternativa A.
- Para que a chance de ter pelo menos uma ducha boa seja de 99%, a chance de todas serem ruins deve ser de, no máximo, 1%. Como cada ducha tem 1/10 de chance de ser ruim, ao comprarmos 2 duchas, a chance de ambas falharem é (1/10) * (1/10) = 1/100, atingindo exatamente o limite planejado.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir o menor número de duchas que o clube deve comprar para que ele tenha uma segurança de 99% de que pelo menos uma delas funcione perfeitamente.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você está participando de um sorteio onde cada bilhete tem 10% de chance de ser premiado com um mico (ducha ruim). Você quer comprar bilhetes suficientes para que a sua chance de NÃO levar apenas micos para casa seja de 99%. O verdadeiro desafio aqui é: quantas vezes você precisa “tentar” para que a chance de fracasso total seja quase nula?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Inverter o Problema: Em vez de olhar para o sucesso, vamos olhar para o fracasso total.
- Calcular o Risco Aceitável: Se o sucesso deve ser de 99/100, o fracasso total (todas ruins) só pode ser de 1/100.
- Montar a Corrente de Falhas: Multiplicar a chance de falha de cada ducha até que o resultado seja igual ou menor que o risco aceitável.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, utilizaremos uma Tabela Comparativa de Estratégias para entender por que o caminho do “complementar” é o nosso melhor equipamento.
DOSSIÊ DE ESTRATÉGIAS: PELO MENOS UM
| Caminho | Método de Cálculo | Complexidade |
| Caminho Direto | Somar as chances de (1 boa) + (2 boas) + (3 boas)… até n duchas. | Altíssima (exige muitos cálculos de combinação). |
| Caminho do Complementar | Calcular o oposto: 1 – P(Nenhuma boa). | Baixíssima (exige apenas uma multiplicação simples). |
FERRAMENTAS TÉCNICAS:
- Probabilidade de Falha (P_falha): 1/10.
- Probabilidade de Sucesso (P_sucesso): 9/10.
- Independência: O erro de uma ducha não “avisa” a outra. Multiplicamos as probabilidades: (1/10) ^ n.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar o plano de ataque focando no cenário que o administrador quer evitar: todas as duchas serem ruins.
1. Definindo o limite de erro:
O administrador quer 99/100 de chance de acerto.
Isso significa que ele aceita, no máximo, 1/100 de chance de erro total.
Matematicamente: P(Todas Irregulares) <= 1/100.
2. Testando a primeira ducha (n=1):
Se comprarmos apenas 1 ducha, a chance de ela ser irregular é de 1/10.
Comparando: 1/10 é maior que 1/100 (10% > 1%).
Veredito: 1 ducha não é suficiente para garantir a segurança de 99%.
3. Testando a segunda ducha (n=2):
Se comprarmos 2 duchas, a chance de a primeira ser ruim E a segunda também ser ruim é:
(1/10) * (1/10) = 1/100.
Comparando: 1/100 é exatamente o limite de risco aceitável (1%).
Veredito: Com 2 duchas, a chance de falha total caiu para 1%, o que automaticamente garante que a chance de “pelo menos uma funcionar” subiu para 99%.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno tentar calcular a probabilidade usando a chance da ducha ser regular (9/10) de forma direta. O aluno começa a fazer 9/10 + 9/10… e se perde completamente na lógica. A armadilha sedutora é esquecer que “pelo menos uma” inclui os cenários onde uma funciona, onde duas funcionam, onde três funcionam… Se você não usar o complementar, você vai cair em uma conta infinita!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A probabilidade de falha total deve ser menor ou igual a 0,01. Com cada ducha tendo 0,1 de chance de falha, precisamos de duas duchas para que 0,1 * 0,1 resulte em 0,01.
- Expectativa: O valor mínimo de duchas é 2.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 2.
- Análise de Correspondência: Como demonstrado, 2 duchas levam a probabilidade de falha total para 1/100, o que deixa a probabilidade de “pelo menos uma regular” em 99/100. É o mínimo necessário.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 8.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter confundido os números do enunciado ou tentado fazer alguma subtração direta (10 – 2 = 8) sem base lógica.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema / Erro de Processamento Lógico.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 9.
- A Narrativa do Erro: O aluno foca no numerador da probabilidade de sucesso (9/10) e assume que esse é o número de tentativas necessárias.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Confundir probabilidade pontual com número de eventos).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 10.
- A Narrativa do Erro: O aluno pensa que para ter 99% de certeza em algo que falha 10% das vezes, ele precisa de uma amostra igual ao denominador (10).
- Diagnóstico do Erro: Estimativa Imprecisa / Senso Comum Equivocado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 11.
- A Narrativa do Erro: O aluno calcula corretamente que 10 duchas dão uma segurança enorme e “chuta” um número a mais para garantir a margem.
- Diagnóstico do Erro: Descrever o Excesso, não o Mínimo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A investigação termina com a Alternativa A. Aprendemos que o poder da multiplicação de frações faz com que a probabilidade de erro caia muito rápido.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Em probabilidade, “pelo menos um” é o grito de guerra para usar o complementar: 1 menos a chance de dar tudo errado.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este conceito é a base da Redundância em Engenharia. Em aviões, a chance de um motor falhar é baixa, mas para garantir que a chance de “pelo menos um motor funcionar” seja de 99,999%, os engenheiros não tentam fazer um motor indestrutível; eles instalam dois ou mais motores independentes. A matemática que o administrador do clube usou para comprar duchas é a mesma que mantém aviões comerciais voando com segurança sobre o oceano!
