Uma empresa fundada em 2005, ao longo dos anos ganhou popularidade e aumentou consideravelmente sua atuação na economia do país. Os lucros anuais e seu padrão de crescimento podem ser observados na tabela.
Supondo que se tenha mantido o padrão observado na tabela para os 5 anos seguintes, estima-se que o lucro total dessa empresa, de 2005 a 2014, em milhar de real, foi
A) 120
B) 134
C) 1025
D) 2056
E) 2074
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Sequências Numéricas e Progressão Geométrica).
Tema/Objetivo Geral:
Identificação de padrões de crescimento exponencial e cálculo da soma de termos de uma sequência de 10 anos.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige um raciocínio de reconhecimento de padrões que não é imediato para todos, pois a sequência em si não é uma PG pura, mas sim a sua diferença entre os termos.
- Demanda uma execução de cálculo mental ou organização de soma exaustiva que pode levar ao erro por fadiga, exigindo atenção dobrada nos últimos termos (2010-2014).
Gabarito: Alternativa D.
- Ao identificar que cada lucro é o dobro do anterior menos 1 (ou que a diferença dobra a cada ano), calculamos os lucros de 2010 a 2014. A soma total de todos os lucros de 2005 a 2014 resulta exatamente em 2056.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão aqui é decifrar a “lógica secreta” de crescimento dos lucros da empresa e projetar essa conta até o ano de 2014. No fim, o que importa não é o lucro de um ano específico, mas o montante acumulado (a soma) de todos os dez anos.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você está subindo uma escada onde cada degrau é mais alto que o anterior. Se o primeiro degrau tem 2cm de altura, o segundo tem 4cm, o terceiro 8cm e assim por diante. O verdadeiro desafio aqui é medir a altura total que você subiu do chão até o décimo degrau.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Isolar o Padrão: Descobrir quanto o lucro aumenta de um ano para o outro.
- Projetar o Futuro: Calcular, um a um, os lucros para 2010, 2011, 2012, 2013 e 2014.
- Somar o Tesouro: Adicionar os lucros de todos os 10 anos para chegar ao valor final.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação, vamos utilizar um Diálogo Mentor-Aluno para desconstruir o DNA desta sequência, que é mais sofisticada do que parece.
MENTOR: “Olhe bem para os números: 3, 5, 9, 17, 33… Você consegue ver uma Progressão Geométrica (PG) aí?”
ALUNO: “Parece que dobra, mas não exatamente. 3 x 2 é 6, e ali está 5. 5 x 2 é 10, e ali está 9.”
MENTOR: “Exato! Você acaba de achar a primeira lei dessa sequência: Dobro menos 1. Matematicamente: an = 2 * a(n-1) – 1. Mas há outra forma de ver, olhe para a distância entre eles.”
TABELA DE INVESTIGAÇÃO DE DIFERENÇAS
- De 3 para 5: Aumento de 2 (que é 2¹)
- De 5 para 9: Aumento de 4 (que é 2²)
- De 9 para 17: Aumento de 8 (que é 2³)
- De 17 para 33: Aumento de 16 (que é 2⁴)
MENTOR: “Viu só? O lucro em si não é uma PG, mas a razão de crescimento é uma PG de razão 2. Outra forma matadora de escrever esse padrão é notar que cada termo é uma potência de 2 somada a 1:
2005 (Ano 1): 2¹ + 1 = 3
2006 (Ano 2): 2² + 1 = 5
2007 (Ano 3): 2³ + 1 = 9…
Isso nos dá a ferramenta final: an = 2ⁿ + 1.”
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora que temos a “fórmula da mina”, vamos executar os cálculos para os 5 anos que faltam (2010 a 2014). Vamos usar o padrão 2ⁿ + 1, onde n é a posição do ano (2005 é n=1, 2014 é n=10).
Execução Sequencial:
- 2010 (n=6): 2⁶ + 1 = 64 + 1 = 65
- 2011 (n=7): 2⁷ + 1 = 128 + 1 = 129
- 2012 (n=8): 2⁸ + 1 = 256 + 1 = 257
- 2013 (n=9): 2⁹ + 1 = 512 + 1 = 513
- 2014 (n=10): 2¹⁰ + 1 = 1024 + 1 = 1025
Cálculo da Soma Total (2005 a 2014):
Soma = (3 + 5 + 9 + 17 + 33) + (65 + 129 + 257 + 513 + 1025)
Soma = 67 + 1989
Soma = 2056
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o candidato calcular apenas o lucro do último ano (1025) e achar que terminou. Note que a Alternativa C traz exatamente esse valor (1025). A armadilha sedutora é confundir o “valor do termo” com o “lucro total” (soma). Lembre-se: o examinador quer o acumulado de 2005 até 2014!
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Identificamos que a sequência segue a lei 2ⁿ + 1. Calculamos os dez termos e realizamos a soma aritmética de todos eles.
- Expectativa: O valor deve ser a soma de uma PG de base 2 (que cresce rápido) mais dez unidades (uma para cada ano).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 120.
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter somado apenas os primeiros anos ou tentado uma Progressão Aritmética (PA) simples, ignorando o crescimento exponencial.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreve apenas uma parte da subida).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 134.
- A Narrativa do Erro: Pode ter ocorrido um erro grosseiro de cálculo ou a tentativa de somar apenas os valores explícitos na tabela original (3+5+9+17+33 = 67) e dobrar o valor sem critério.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Projeção Lógica.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1 025.
- A Narrativa do Erro: O aluno identificou o padrão corretamente, calculou o valor de 2014 perfeitamente, mas esqueceu que a questão pedia o lucro total (soma).
- Diagnóstico do Erro: Descrever o Meio (Termo), não o Fim (Soma).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 2 056.
- Análise de Correspondência: Este valor é a soma exata dos lucros de 2005 (3) até 2014 (1025). Ele respeita o padrão exponencial identificado e responde à pergunta sobre o lucro acumulado.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 2 074.
- A Narrativa do Erro: Geralmente ocorre por erro na soma manual ou por contar um ano a mais na progressão (extrapolando 2015).
- Diagnóstico do Erro: Generalização Excessiva / Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A vitória foi consolidada na Alternativa D, mostrando que em sequências exponenciais, os últimos termos carregam quase todo o peso da soma.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Cada ano é o dobro do anterior menos um; a soma total é quase o dobro do lucro do último ano.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse padrão de crescimento onde a “diferença dobra” é a base da Escala Richter (usada para terremotos) e da Escala de pH (química). Embora não sejam idênticas, elas lidam com a ideia de que um pequeno passo no eixo X (anos ou níveis) representa um salto gigantesco no eixo Y (lucro ou energia). Na computação, isso se reflete na Lei de Moore, que previu que a capacidade dos processadores dobraria a cada período, transformando o mundo de forma exponencial, exatamente como o lucro dessa empresa!
