Um funcionário de uma loja de computadores misturou, por descuido, três computadores defeituosos com sete computadores perfeitos que estavam no estoque. Uma pequena empresa fez a compra de cinco computadores nessa loja, escolhendo-os aleatoriamente dentre os dez que estavam no estoque.
Qual é a probabilidade de essa empresa ter levado, em sua compra, todos os três computadores defeituosos?
A) 1/72
B) 1/12
C) 1/4
D) 3/10
E) 3/7
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Análise Combinatória e Probabilidade Clássica).
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de probabilidade em eventos sem reposição (amostragem) utilizando o conceito de combinações simples.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige que o aluno identifique que a ordem da escolha dos computadores não altera o conjunto de compra, o que demanda o uso de Combinações.
- O maior desafio técnico é perceber que a compra possui 5 vagas. Ao garantir que as 3 máquinas defeituosas sejam levadas, o aluno deve obrigatoriamente preencher as 2 vagas restantes com computadores perfeitos.
- Requer habilidade em simplificação de frações e manipulação de fatoriais para evitar cálculos desnecessários.
Gabarito: Alternativa B.
- A probabilidade é a razão entre o número de formas de escolher os 3 defeituosos (combinados com 2 perfeitos) e o total de formas de escolher quaisquer 5 computadores dos 10 disponíveis. O resultado final simplificado é 1/12.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir qual é a chance matemática de uma empresa levar exatamente os 3 computadores estragados que existem no estoque ao escolher aleatoriamente 5 unidades de um lote total de 10.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que você tem um pote com 10 bombons: 3 são de pimenta (estragados) e 7 são de chocolate (perfeitos). Você vai pegar um punhado de 5 bombons de uma vez, sem olhar. O verdadeiro desafio aqui é: qual a chance de você pegar justamente os 3 de pimenta escondidos no meio desse seu punhado de 5?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o Espaço Amostral: De quantas formas diferentes podemos escolher 5 computadores quaisquer entre os 10 disponíveis?
- Calcular o Evento Favorável: De quantas formas podemos montar um pacote de 5 onde 3 sejam os defeituosos e 2 sejam os perfeitos?
- Executar a Divisão Final: Aplicar a fórmula da probabilidade (Casos Favoráveis / Casos Possíveis).
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para esta investigação profunda, vamos organizar nossas ferramentas através de um Dossiê Técnico de Probabilidade e Contagem.
DOSSIÊ TÉCNICO: OPERAÇÃO COMBINATÓRIA
- A Ferramenta de Seleção (Combinação Simples): Usamos a fórmula C(n, k) = n! / [k! * (n – k)!] sempre que a ordem dos elementos não importar. Como levar o computador A e o B é o mesmo que levar o B e o A, esta é a ferramenta ideal.
- O Significado do Fatorial (!): Representa a multiplicação de um número por todos os seus antecessores até o 1. Por exemplo: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.
- A Regra da Probabilidade Clássica: A probabilidade é a razão entre o que eu quero (Casos Favoráveis) e o que eu tenho (Casos Possíveis).
- O Princípio Multiplicativo (A Regra do “E”): Para formar o nosso grupo desejado, precisamos escolher os defeituosos E os perfeitos. Na matemática, esse “E” sinaliza que os resultados das combinações devem ser multiplicados.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos agora colocar a mão na massa e seguir o rastro dos números. Acompanhe cada etapa da investigação:
1. Calculando o Total de Possibilidades (Espaço Amostral):
Temos 10 computadores no estoque e a empresa vai escolher 5.
C(10, 5) = 10! / (5! * 5!)
C(10, 5) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Simplificando os termos: (10 / 5*2) vira 1; (8 / 4) vira 2; (9 / 3) vira 3.
Sobrou: 3 * 2 * 7 * 6 = 252 combinações totais.
2. Calculando o Cenário Desejado (Casos Favoráveis):
O pacote de 5 computadores deve ter: (3 defeituosos) E (2 perfeitos).
- Para os defeituosos: Temos 3 disponíveis no estoque e queremos pegar justamente os 3.
C(3, 3) = 1 (Só existe uma forma de levar todos: pegando as três máquinas estragadas que existem). - Para os perfeitos: Aqui está o “pulo do gato”. Restam 2 vagas no carrinho da empresa, que devem ser preenchidas pelos 7 computadores bons que restaram no estoque.
C(7, 2) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / 2 = 21 formas. - Total de Casos Favoráveis: Multiplicamos os resultados das escolhas: 1 * 21 = 21 combinações favoráveis.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é o aluno focar apenas no número 3 (computadores defeituosos) e esquecer que a compra é de 5 computadores. A armadilha mais sedutora é achar que os outros 2 computadores “não importam”. Eles importam sim! Eles definem quantas combinações diferentes de pacotes contendo os 3 defeituosos podem existir. Se você não preencher as 5 vagas do carrinho escolhendo os 2 perfeitos, sua conta vai ignorar a realidade do problema.
Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Dividimos as 21 formas de montar o pacote azarado pelo total de 252 formas de montar qualquer pacote de 5.
- Expectativa: A fração final será 21/252, que deve ser simplificada até encontrarmos a resposta.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1/72
- A Narrativa do Erro: O aluno tenta multiplicar probabilidades isoladas (ex: 3/10 * 2/9 * 1/8) mas erra na simplificação ou interrompe o raciocínio antes de completar os 5 itens da amostra.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo / Lógica de Eventos Sucessivos Incompleta.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1/12
- Análise de Correspondência: Ao simplificarmos a nossa fração 21 / 252, dividindo o numerador e o denominador por 21, chegamos exatamente a 1 / 12. (Pois 21 * 10 = 210 e 21 * 2 = 42; 210 + 42 = 252). É a correspondência exata. Brutal!
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 1/4
- A Narrativa do Erro: O aluno pode ter feito uma estimativa visual grosseira ou simplificado a fração de forma errônea, ignorando a necessidade de combinar os computadores perfeitos.
- Diagnóstico do Erro: Estimativa Imprecisa / Erro de Simplificação.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 3/10
- A Narrativa do Erro: O aluno olha para os números “3 defeituosos” e “10 no total” e faz a razão direta entre eles, esquecendo que a empresa está levando um grupo de 5 máquinas.
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Confunde a proporção do estoque com a probabilidade de uma amostragem específica).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 3/7
- A Narrativa do Erro: O aluno tenta fazer uma razão entre a quantidade de computadores defeituosos (3) e a de perfeitos (7).
- Diagnóstico do Erro: Confundir Probabilidade com Razão de Chances (Odds).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Reafirmamos o sucesso da investigação: a resposta correta é a Alternativa B. O segredo foi tratar a compra como um “time” de 5 vagas onde 3 já estavam ocupadas pelos defeituosos e as outras 2 precisavam ser preenchidas pelos bons.
Resumo-flash (A Imagem Mental): É como escalar um time de futsal (5 pessoas) onde 3 jogadores já estão escalados (os defeituosos); a sua única liberdade é escolher quem serão os outros 2 entre os 7 reservas bons.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este mesmo raciocínio de Amostragem Combinatória é o pilar da Engenharia de Qualidade e da Indústria Farmacêutica. Quando um lote de 10.000 remédios é produzido, não se testa cada comprimido. Eles retiram uma amostra aleatória. Se a probabilidade de encontrar elementos defeituosos nessa amostra pequena for calculada como fizemos aqui e o resultado for acima de um limite estatístico, o lote inteiro é descartado. A matemática que você usou hoje é a mesma que garante que o remédio que você toma seja seguro!
