Ao realizar os preparativos para o Natal, uma pessoa resolveu aumentar o número de lâmpadas incandescentes de um pisca-pisca que originalmente tinha 20 lâmpadas associadas em paralelo, cada uma com resistência R.
Adicionou outras 20 lâmpadas com as mesmas especificações e também em paralelo. O circuito passou a ser composto por 40 lâmpadas em paralelo e uma fonte de resistência interna r. A corrente total do circuito com 40 lâmpadas é proporcional à corrente do circuito com 20 lâmpadas, ou seja, i40 = 
⋅ i20. Ao ligar o sistema, ela observou que o brilho das lâmpadas diminuiu com fator de proporcionalidade igual a 
.
Qual é o fator , utilizado para a obtenção da redução do brilho em cada lâmpada?
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Eletrodinâmica (Circuitos em Paralelo, Resistência Equivalente e Lei de Ohm-Pouillet).
Tema/Objetivo Geral: Modelar matematicamente a corrente elétrica total em dois circuitos diferentes (com números de lâmpadas distintos) e determinar a razão entre essas correntes.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? Exige o domínio da álgebra de frações complexas e a aplicação da Lei de Ohm para o circuito inteiro (considerando a resistência interna da bateria). O aluno precisa montar uma expressão literal (com letras) em vez de calcular um número.
Gabarito: C
A alternativa está correta pois representa a razão exata entre a corrente do circuito com 40 lâmpadas e a corrente do circuito com 20 lâmpadas, considerando a resistência interna da fonte.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer descobrir a fórmula do fator “alfa”.
O texto define “alfa” matematicamente:
i40 = alfa * i20
Isolando o alfa:
alfa = i40 / i20
Ou seja, a questão quer que você divida a corrente total do caso com 40 lâmpadas pela corrente total do caso com 20 lâmpadas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que a bateria é uma caixa d’água com um cano de saída enferrujado (resistência interna “r”).
- Cenário 1: Você conecta 20 torneiras (lâmpadas). Sai uma quantidade de água (i20).
- Cenário 2: Você conecta 40 torneiras. Sai uma nova quantidade de água (i40).
- A pergunta é: Qual a relação entre a vazão nova e a antiga?
Plano de Ataque:
- Calcular i20: Achar a corrente total no primeiro caso.
- Calcular i40: Achar a corrente total no segundo caso.
- Dividir: Fazer a conta i40 dividido por i20.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar duas ferramentas:
Ferramenta 1: Resistência Equivalente em Paralelo
Quando temos várias lâmpadas iguais (R) em paralelo, a resistência total do grupo é:
Req = R / n (onde n é o número de lâmpadas).
- Para 20 lâmpadas: Req20 = R / 20.
- Para 40 lâmpadas: Req40 = R / 40.
Ferramenta 2: Lei de Ohm-Pouillet (Para o circuito todo)
Corrente Total = Força Eletromotriz (E) / Resistência Total do Circuito
A Resistência Total do Circuito é a soma da parte externa (lâmpadas) com a interna da bateria (r).
- i = E / (Req + r)
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar as equações:
Cenário 1 (20 Lâmpadas):
Resistência das lâmpadas: R/20
Resistência Total: (R/20) + r
Corrente (i20):
i20 = E / [ (R/20) + r ]
Cenário 2 (40 Lâmpadas):
Resistência das lâmpadas: R/40
Resistência Total: (R/40) + r
Corrente (i40):
i40 = E / [ (R/40) + r ]
Cálculo Final (O Fator Alfa):
Queremos alfa = i40 / i20.
Vamos dividir as duas frações.
Lembre-se: Divisão de frações = Copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda.
alfa = { E / [ (R/40) + r ] } * { [ (R/20) + r ] / E }
O “E” (tensão da bateria) corta com o “E” de baixo.
O que sobra?
O termo “[ (R/20) + r ]” fica em cima.
O termo “[ (R/40) + r ]” fica embaixo.
Resultado Final:
alfa = [ (R/20) + r ] / [ (R/40) + r ]
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos invertem a ordem.
Como o texto diz “i40 é proporcional a i20”, a equação é i40 = alfa * i20.
Isso obriga o i40 a ficar no numerador (em cima) da definição do alfa, mas na fórmula da corrente, a resistência fica no denominador (embaixo). Por isso, a resistência do caso 40 vai parar embaixo na resposta final.
A Bússola (Síntese):
A expressão correta tem o termo com “20” em cima e o termo com “40” embaixo.
Expectativa: Alternativa C.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 1/2.
- Diagnóstico do Erro: O aluno ignorou a resistência interna (r) e as resistências R. Achou que dobrar as lâmpadas apenas dobra a corrente (o que daria alfa = 2) ou divide por 2. Simplificação excessiva.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 1/20.
- Diagnóstico do Erro: Chute baseado nos números do enunciado.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- C) [(R/20) + r] / [(R/40) + r].
- Análise: Perfeita. Corresponde exatamente à divisão das correntes i40/i20 que deduzimos matematicamente. O termo (R/20 + r) veio do denominador invertido da corrente i20.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) [(R/40) + r] / [(R/20) + r].
- Diagnóstico do Erro: Inversão. O aluno calculou i20/i40 em vez de i40/i20. É a pegadinha mais perigosa para quem fez todas as contas certas mas se distraiu no final.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- E) (R/40) + r.
- Diagnóstico do Erro: Isso é apenas a resistência total do segundo caso, não um fator de comparação adimensional.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
O fator de proporcionalidade entre as correntes é obtido pela razão inversa das resistências totais dos circuitos; como a corrente é inversamente proporcional à resistência, o termo referente às 20 lâmpadas (maior resistência) aparece no numerador e o das 40 lâmpadas (menor resistência) no denominador.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Corrente i40 em cima? Resistência R40 embaixo. A lei de Ohm inverte tudo.”
🧠 Para ir Além (Mundo Real):
Esse problema ilustra por que as luzes da sua casa “piscam” ou ficam mais fracas quando você liga o chuveiro elétrico.
Ao ligar o chuveiro (adicionar uma carga potente em paralelo), a resistência total da casa diminui e a corrente total aumenta. Isso faz com que a Resistência Interna da fiação da rua “roube” mais voltagem, sobrando menos voltagem para as lâmpadas, que brilham menos. Exatamente o que aconteceu no pisca-pisca!
