Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é
A) 6
B) 16
C) 17
D) 18
E) 21
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (volume de cilindro e cone).
Nível da Questão: Médio
Gabarito: D (18 viagens)
Tema/Objetivo Geral: Calcular o volume total de um silo (composto por um cilindro e um cone) e determinar quantas viagens de caminhão são necessárias para transportar todo o conteúdo.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos… O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é…?”
🔹 Explicação Detalhada (O que está sendo pedido):
Calcular o volume total do silo (que é composto de um cilindro e um cone) e, sabendo que cada caminhão transporta 20 m³, descobrir quantas viagens serão necessárias para esvaziar o silo completamente.
✔ Identificação de Palavras-chave:
- “Silo”
- “Formato: cilindro + cone”
- “Dimensões: raio 3 m, altura do cilindro 12 m, altura do cone 3 m”
- “Capacidade do caminhão: 20 m³”
📌 Definição do Objetivo:
Determinar o volume total do silo e dividir pela capacidade do caminhão para encontrar o número mínimo de viagens, arredondando para cima se houver sobra.
➡️ “Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.”
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Volume do Cilindro: volume = área da base × altura.
- Área da base = π × (raio)².
- Volume do Cone: volume = (área da base × altura) / 3.
- Base igual à do cilindro (raio 3 m).
- Cálculo de Viagens: volume total / capacidade do caminhão.
🔹 Fórmulas e Definições Importantes:
- Área da base (círculo): A = π × r².
- Volume do cilindro: V = área da base × altura.
- Volume do cone: V = (área da base × altura) / 3.
- Uso de 3 como aproximação para π (conforme o enunciado).
➡️ “Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.”
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Temos um silo que armazena grãos.
- O silo é formado por um cilindro (altura 12 m) e um cone sobreposto (altura 3 m).
- O raio da base do cilindro e do cone é 3 m.
- O caminhão transporta 20 m³ por viagem.
- Precisamos saber quantas viagens são necessárias para esvaziar o silo cheio.
🔹 Identificação de Frases-chave:
- “Cilindro de raio 3 m e altura 12 m”
- “Cone de raio 3 m e altura 3 m”
- “Capacidade do caminhão: 20 m³”
- “Usar 3 como aproximação para π”
✔ Relação com o Conteúdo Linguístico:
É um problema de volume e logística de transporte (quantas viagens). Precisamos usar a soma dos volumes e dividir pela capacidade do caminhão.
➡️ “Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.”
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Completa:
- Cálculo do volume do cilindro:
- Raio r = 3 m.
- Altura H = 12 m.
- Área da base = 3 × (3)² = 3 × 9 = 27.
- Volume do cilindro = área da base × altura = 27 × 12 = 324 m³.
- Cálculo do volume do cone:
- Mesmo raio r = 3 m.
- Altura do cone h = 3 m.
- Área da base = 27 (igual ao cilindro).
- Volume do cone = (área da base × altura do cone) / 3.
- Volume do cone = (27 × 3) / 3 = 27 m³.
- Volume total do silo:
- Volume total = volume do cilindro + volume do cone = 324 + 27 = 351 m³.
- Capacidade do caminhão e número de viagens:
- Cada caminhão transporta 20 m³.
- Dividir volume total pelo volume do caminhão: 351 / 20 = 17,55.
- Como não podemos fazer 17,55 viagens, arredondamos para cima: 18 viagens.
🔹 Explicação dos Cálculos:
- Usamos 3 como valor de π, por isso área da base = 3 × (3)² = 27.
- As fórmulas aplicadas confirmam os volumes.
- No final, qualquer fração de viagem exige viagem adicional.
➡️ “Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.”
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
A) 6
B) 16
C) 17
D) 18
E) 21
✅ Justificativa da Alternativa Correta:
- O resultado do cálculo é 17,55 viagens, portanto são necessárias 18 viagens completas.
- Alternativa correta: D (18).
❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A (6) e B (16): Muito menores do que o necessário, pois 351 m³ exigiria bem mais de 16 viagens.
- C (17): 17 viagens seriam 340 m³, ainda restariam 11 m³, exigindo viagem extra.
- E (21): Excede o necessário, pois 18 viagens já bastam.
➡️ “Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.”
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Calculamos o volume do cilindro (324 m³) mais o volume do cone (27 m³), totalizando 351 m³.
- O caminhão transporta 20 m³, então 351 / 20 = 17,55.
- Arredondando para cima, temos 18 viagens.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa correta é D (18).
🔍 Resumo Final:
Para transportar todos os 351 m³ de grãos usando um caminhão de 20 m³, são necessárias 18 viagens, pois qualquer sobra acima de um múltiplo de 20 m³ obriga a uma viagem adicional.
