A invenção e o acoplamento entre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeiro usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A frequência do motor é de 18 RPM, e o número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro.
A frequência de giro do ponteiro, em RPM, é
A) 1.
B) 2.
C) 4.
D) 81.
E) 162.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Mecânica – Transmissão de Movimento por Engrenagens
🔢 Nível da Questão
🔹 Médio – Exige conhecimento de transmissão de movimento por engrenagens e a relação entre o número de dentes e a rotação.
✅ Gabarito
Alternativa B (2 RPM)
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O que está sendo apresentado?
A questão apresenta um sistema de engrenagens, um mecanismo usado para transmitir movimento rotacional. Essa transmissão ocorre de uma engrenagem para outra através dos dentes, que se encaixam de forma precisa para garantir o movimento contínuo.
📌 Os elementos visuais que precisamos entender:
- A imagem do sistema de engrenagens: Mostra quatro engrenagens interligadas.
- A tabela com o número de dentes das engrenagens: Fundamental para os cálculos.
- O texto do enunciado: Menciona que um motor com 18 RPM aciona a primeira engrenagem.
📌 Objetivo final da questão:
Descobrir quantas rotações por minuto (RPM) o ponteiro do relógio executa, considerando a sequência de engrenagens.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
📌 O que são engrenagens e como funcionam?
Engrenagens são discos dentados que transmitem movimento rotacional de um eixo para outro. Existem dois casos principais:
1️⃣ Duas engrenagens em contato direto → Movem-se em sentidos opostos e suas rotações são proporcionais ao número de dentes.
2️⃣ Engrenagens no mesmo eixo → Giram no mesmo sentido e com a mesma rotação.
📌 Fórmula Fundamental para Transmissão de Movimento:
Quando duas engrenagens estão engrenadas diretamente, a relação entre suas frequências de rotação (f) e seus números de dentes (N) é dada por:
fA⋅NA=fB⋅NB
Isso significa que quanto mais dentes uma engrenagem tem, mais devagar ela gira. Essa relação é inversamente proporcional:
- Se a engrenagem B tem o triplo de dentes da A, então B girará 3 vezes mais devagar.
📌 Relação entre Engrenagens no Mesmo Eixo
Se duas engrenagens compartilham o mesmo eixo, suas rotações são iguais. Ou seja, se fB=6 RPM, então fC também será 6 RPM.
✏ Passo 3: Tradução e Interpretação de Texto
📌 Entendendo a sequência do movimento
1️⃣ O motor gira a engrenagem A com 18 RPM.
2️⃣ A engrenagem A transmite o movimento para B (conectadas diretamente).
3️⃣ A engrenagem B e C compartilham o mesmo eixo → Mesma rotação.
4️⃣ A engrenagem C transmite o movimento para D.
5️⃣ O ponteiro está fixado na engrenagem D, então sua rotação será igual a fD.
📌 Interpretação da Tabela de Dentes
A tabela fornece os seguintes valores:
- A → 24 dentes
- B → 72 dentes
- C → 36 dentes
- D → 108 dentes
O número de dentes determina a relação de transmissão entre as engrenagens engrenadas diretamente.
🧠 Passo 4: Desenvolvimento do raciocínio
Agora, aplicamos os conceitos para encontrar a frequência do ponteiro.
📌 Passo 1 – Encontrando fB
Engrenagens A e B estão engrenadas diretamente. Usamos a equação:
–> fA⋅NA=fB⋅NB
Substituindo os valores:
18×24=fB×72
–>
fB =18×24/72=432/72= 6 RPM
Como B e C giram no mesmo eixo, temos:
fC=fB=6 RPM
📌 Passo 2 – Encontrando fD
Agora aplicamos a relação entre C e D:
fC⋅NC=fD⋅ND
–>
6×36=fD×108
–>
fD=1086×36=216/108=2 RPM
O ponteiro está fixado na engrenagem D, logo sua frequência de giro é 2 RPM.
🔍 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativa A) 1 RPM ❌
Se fosse 1 RPM, a engrenagem D deveria ter um número de dentes maior do que o real.
📌 Alternativa B) 2 RPM ✅
Correta, pois corresponde ao cálculo correto baseado na transmissão entre as engrenagens.
📌 Alternativa C) 4 RPM ❌
Se fosse 4 RPM, a engrenagem D deveria ter um número de dentes menor do que o informado.
📌 Alternativa D) 81 RPM ❌
Valor muito alto, incompatível com a relação de transmissão entre engrenagens.
📌 Alternativa E) 162 RPM ❌
Também muito alto, sem correspondência com a relação entre engrenagens.
🎯 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 O que fizemos?
1️⃣ Identificamos como as engrenagens estavam conectadas.
2️⃣ Aplicamos a relação entre rotação e número de dentes.
3️⃣ Seguimos a cadeia de transmissão do motor até o ponteiro.
📌 Resposta correta: 2 RPM (Alternativa B).
📌 Resumo Visual da Lógica de Transmissão:
🔹 Motor (18 RPM) → A (24 dentes) → B (72 dentes) → C (36 dentes) → D (108 dentes) → Ponteiro (2 RPM).
