Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas.
No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:
Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Prisma e Cilindro): Noções básicas de dimensões (comprimento, largura e altura).
- Aritmética (Divisão Inteira): O conceito de quociente inteiro (ignorar o resto da divisão) aplicado a problemas de contagem física.
Tema/Objetivo Geral:
Otimização de espaço e arranjo de sólidos geométricos.
Nível da Questão: Médio.
- O nível é médio porque, embora a matemática seja básica (divisão e multiplicação simples), a questão exige uma modelagem mental da situação. O aluno precisa resistir à tentação de usar o cálculo de volume total (que é a armadilha mais comum) e entender que objetos físicos rígidos não ocupam 100% do espaço disponível; existem “espaços vazios” entre os cilindros que não podem ser aproveitados.
Gabarito: Alternativa D.
- O modelo IV permite a organização de 30 potes (5 no comprimento x 3 na largura x 2 na altura), superando todas as outras opções.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Vamos traduzir isso aqui. O enunciado quer que você descubra qual das cinco caixas tem a melhor capacidade de armazenamento para potes de tinta específicos.
Simplificação Radical:
Imagine que você está arrumando malas de viagem. Não adianta saber que a mala tem 100 litros de volume se você vai colocar caixas de sapato rígidas dentro dela. O que importa é: quantas caixas cabem lado a lado? Quantas cabem uma em cima da outra?
O verdadeiro desafio aqui é: Entender que não estamos lidando com um líquido que preenche todo o espaço, mas com objetos sólidos. Se sobrar 1 cm de espaço na caixa, você não pode “cortar um pedaço” do pote para encaixar ali. Ou cabe o pote inteiro, ou não cabe nada.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar as medidas do “tijolo” básico (o pote de tinta).
- Testar, para cada modelo de caixa, quantos potes cabem no Comprimento, na Largura e na Altura.
- Multiplicar esses três valores para achar o total de potes por caixa.
- Comparar e achar o vencedor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, precisamos dominar a Teoria da Divisão Inteira e o Princípio da “Caixa Quadrada”.
Ferramenta 1: O Princípio da Caixa Quadrada (Cilindros em Grades)
Quando organizamos latas cilíndricas em uma caixa retangular (com tampas para cima), cada cilindro ocupa, na prática, o espaço de um prisma quadrado.
Pense comigo: Se você encosta uma lata redonda na outra, o ponto de contato é mínimo, mas o espaço que elas exigem no chão da caixa é um quadrado cujo lado é igual ao diâmetro da lata.
Exemplo Prático: Pegue uma moeda de 2 cm de diâmetro. Se você colocá-la sobre uma folha de papel quadriculado, ela vai “exigir” um quadrado de 2×2 cm para não bater na moeda vizinha.
Ferramenta 2: A Divisão Inteira (O Poder do “Chão”)
Na matemática da vida real (logística), números decimais não existem para contagem de objetos inteiros.
Se sua prateleira tem 19 cm e seu livro tem 5 cm de espessura:
Matemática Pura: 19 / 5 = 3,8 livros.
Matemática Real: Cabem 3 livros. O 0,8 (que representa 4 cm de sobra) é espaço morto. Não dá para colocar 80% de um livro.
Dossiê Técnico do Pote:
Vamos criar a ficha técnica do nosso “objeto de carga”:
- Espaço ocupado no chão (Diâmetro): 4 cm (Isso vale tanto para o comprimento quanto para a largura da caixa).
- Espaço ocupado na vertical (Altura): 6 cm.
Agora é só ver quantas vezes essas medidas “cabem” nas medidas das caixas.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos investigar caixa por caixa, aplicando nossa Divisão Inteira. Lembre-se: ignoramos as sobras (os decimais).
Modelo I (Dimensões: 8 x 8 x 40)
Comprimento (8 cm): 8 / 4 = 2 potes.
Largura (8 cm): 8 / 4 = 2 potes.
Altura (40 cm): 40 / 6 = 6 potes (sobra 4 cm de ar, paciência).
Total: 2 x 2 x 6 = 24 potes.
Modelo II (Dimensões: 8 x 20 x 14)
Comprimento (8 cm): 8 / 4 = 2 potes.
Largura (20 cm): 20 / 4 = 5 potes.
Altura (14 cm): 14 / 6 = 2 potes (sobra 2 cm).
Total: 2 x 5 x 2 = 20 potes.
Modelo III (Dimensões: 18 x 5 x 35)
Comprimento (18 cm): 18 / 4 = 4 potes (sobra 2 cm).
Largura (5 cm): 5 / 4 = 1 pote (sobra 1 cm).
Altura (35 cm): 35 / 6 = 5 potes (sobra 5 cm).
Total: 4 x 1 x 5 = 20 potes.
Modelo IV (Dimensões: 20 x 12 x 12)
Comprimento (20 cm): 20 / 4 = 5 potes (encaixe perfeito).
Largura (12 cm): 12 / 4 = 3 potes (encaixe perfeito).
Altura (12 cm): 12 / 6 = 2 potes (encaixe perfeito).
Total: 5 x 3 x 2 = 30 potes.
Nota do Detetive: Repare como aqui não houve desperdício nas medidas. Isso é um forte indício de eficiência.
Modelo V (Dimensões: 24 x 8 x 14)
Comprimento (24 cm): 24 / 4 = 6 potes.
Largura (8 cm): 8 / 4 = 2 potes.
Altura (14 cm): 14 / 6 = 2 potes.
Total: 6 x 2 x 2 = 24 potes.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais sedutor aqui é calcular o Volume da Caixa e dividir pelo Volume do Pote.
Se você fizesse isso, acharia que “teoricamente” cabem mais potes do que na realidade, porque o cálculo de volume assume que o pote derreteria e ocuparia todos os cantinhos vazios entre os cilindros. Volume é para líquidos ou areia. Para objetos rígidos, usamos dimensões lineares. Jamais esqueça disso.
A Bússola (Síntese do Raciocínio):
Comparamos os totais reais: 24, 20, 20, 30 e 24.
Expectativa: A alternativa correta deve indicar o Modelo IV.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Agora vamos validar nossa descoberta e entender o erro das outras, seguindo a ordem apresentada na questão.
- Análise da Alternativa (A) – Modelo I:
O Modelo I comporta 24 potes. Embora tenha uma altura excelente (40 cm), sua base é muito estreita (8×8), limitando o “chão” da caixa a apenas 4 potes por camada.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (B) – Modelo II:
O Modelo II comporta apenas 20 potes. O aluno pode ter superestimado essa caixa por ela parecer “larga” (20 cm), mas a altura baixa (14 cm) limita o empilhamento a apenas 2 andares.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (C) – Modelo III:
O Modelo III é o pior caso de eficiência (junto com o II), comportando 20 potes. O erro fatal aqui é a largura de 5 cm. Como o pote tem 4 cm, sobra 1 cm inútil ao longo de toda a caixa, criando um enorme espaço morto. É um desperdício estrutural.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - Análise da Alternativa (D) – Modelo IV:
Análise de Correspondência: Nossos cálculos mostraram que este modelo comporta 30 potes, o maior valor encontrado entre todas as opções. O encaixe foi extremamente eficiente (sem sobras nas laterais), maximizando o uso do espaço.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta. - Análise da Alternativa (E) – Modelo V:
O Modelo V empata com o Modelo I, levando 24 potes. Ele é comprido, mas novamente, a altura baixa limita o potencial de carga. Não vence o Modelo IV.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a Letra D (Modelo IV). O segredo foi analisar cada dimensão separadamente, respeitando a rigidez física dos objetos.
Resumo-flash:
Na logística, volume não manda nada; o que manda é o encaixe das arestas (Divisão Inteira).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse conceito é a base da Logística de Contêineres e do Design Web (CSS Grid). Na tela do seu celular, o programador define quantos “botões” cabem na largura da tela. Se a tela tem 400 pixels e o botão tem 100 pixels, cabem 4. Se a tela diminuir para 399 pixels, só cabem 3 (o 4º “cai” para a linha de baixo). O princípio é exatamente o mesmo dessa questão. Em um navio, não importa o volume total do porão, mas quantos contêineres “padrão” (TEU) cabem nas fileiras.
