Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de π/6 rad conforme a figura.
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0;0).
Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.
Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a:
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana: Comprimento de arco de circunferência (C = ângulo x Raio).
- Sistemas de Coordenadas: Interpretação de malhas polares (raio e ângulo).
- Otimização: Lógica do menor caminho.
Tema/Objetivo Geral
Calcular a menor distância entre dois pontos em uma malha não-euclidiana (polar), combinando movimentos radiais (retos) e angulares (curvos), sem passar pela origem.
Nível da Questão: Médio.
- Exige estratégia. O aluno precisa perceber que, para economizar distância na curva, deve “descer” para o raio menor possível (raio 1), percorrer o arco lá embaixo e depois “subir” novamente. Calcular o arco errado (em um raio maior) levaria a uma resposta incorreta.
Gabarito: Alternativa A.
- O caminho ótimo consiste em descer do ponto B (raio 4) até o raio 1, percorrer o arco no raio 1 e subir até o ponto A (raio 6).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Estamos em um tabuleiro estranho, que parece uma teia de aranha (malha polar). Temos que levar um objeto do ponto B até o ponto A.
As Regras do Jogo:
- Movimento Permitido: Só podemos andar sobre as linhas pontilhadas (as retas que saem do centro ou os círculos).
- Proibição: Não pode passar pelo centro (origem 0,0).
- Objetivo: Encontrar o caminho MAIS CURTO possível.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Entender visualmente por que a linha reta direta está proibida.
- Traçar a estratégia: decidir em qual “anel” (circunferência) faremos a curva para economizar distância.
- Calcular a distância total somando os pedaços retos e o pedaço curvo.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, precisamos de dois conceitos chaves.
1. A Ilusão da Linha Reta
Em um campo aberto, a menor distância entre dois pontos é uma reta.
Observe a imagem abaixo:
(A Reta Proibida): A linha roxa mostra o caminho ideal (reta). A linha laranja mostra uma curva. No nosso jogo, a linha roxa passaria perigosamente perto da origem ou fora das linhas permitidas. Como não podemos “cortar caminho” pelo meio do nada, temos que seguir os trilhos da malha.
2. A Estratégia do “Atalho Interno”
Imagine uma pista de atletismo. Quem corre na raia de dentro corre menos do que quem corre na raia de fora, certo?
- Quanto menor o raio da circunferência, menor o comprimento do arco para o mesmo ângulo.
- Conclusão Lógica: Para gastar menos sola de sapato, devemos descer até a circunferência mais interna possível (Raio 1), fazer a curva lá, e depois subir. Fazer a curva lá fora (no Raio 4 ou 6) seria um desperdício enorme.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos construir o caminho passo a passo. Olhe para a imagem abaixo, que mostra o trajeto vencedor:
(O Caminho em V: Desce, Gira, Sobe):
- Ponto de Partida (B): Está no Raio 4.
- Ponto de Chegada (A): Está no Raio 6.
Etapa 1: A Descida (Segmento Reto 1)
Saímos de B (Raio 4) e descemos pela linha reta até o anel mais interno permitido (Raio 1).
- Distância = 4 – 1 = 3 unidades.
Etapa 2: A Curva (Segmento Curvo)
Agora estamos no anel de Raio 1. Precisamos girar até a linha onde está o ponto A.
- Quantas “fatias” de ângulo precisamos andar? Conte os espaços entre as linhas radiais. De B até A, passamos por 4 espaços.
- Cada espaço vale pi/6.
- Ângulo Total = 4 x (pi/6) = 4pi/6 = 2pi/3.
- Comprimento do Arco: Fórmula C = Ângulo x Raio.
- Como escolhemos o Raio 1 (o menor possível): C = (2pi/3) x 1 = 2pi/3.
Etapa 3: A Subida (Segmento Reto 2)
Agora que já giramos, estamos no Raio 1, mas na direção certa de A. Precisamos subir até o Raio 6.
- Distância = 6 – 1 = 5 unidades.
Soma Total:
Descida (3) + Subida (5) + Curva (2pi/3)
Total = 8 + 2pi/3.
🚨ARMADILHA CLÁSSICA!🚨
Muitos alunos pensam: “Vou fazer a curva logo no raio onde estou (Raio 4) e depois subo”. Se você fizer a curva no Raio 4, o arco seria 4 x (2pi/3). Isso é 4 vezes maior do que fazer a curva no Raio 1! Lembre-se: em pistas circulares, sempre procure a “curva por dentro” para economizar caminho.
Bússola (Síntese do Raciocínio):
Parte Reta Total: 3 + 5 = 8.
Parte Curva: (2pi/3) . 1 = 2pi/3.
Expressão Final: 8 + (2 . pi . 1) / 3.
Expectativa:
Procuramos a alternativa que mostre a soma de 8 com a fração do arco.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos comparar nossa fórmula (8 + 2pi/3) com as opções. Note que as opções colocaram o “1” do raio explicitamente na fórmula.
A) (2 . pi . 1) / 3 + 8
- Análise de Correspondência: Exata.
- Análise: O termo 8 corresponde à soma dos trajetos retos (3 + 5). O termo fracionário corresponde ao arco no raio 1 ((2pi/3) x 1). Bate perfeitamente com nossa dedução estratégica.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) (2 . pi . 2) / 3 + 6
- Diagnóstico do Erro: Estratégia Sub-ótima (Curva no Raio 2).
- Análise: Aqui o aluno desceu até o Raio 2 (gastando 4-2=2 e 6-2=4, total retas = 6) e fez a curva lá. Embora possível, o caminho é mais longo porque o arco no raio 2 é o dobro do arco no raio 1.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) (2 . pi . 3) / 3 + 4
- Diagnóstico do Erro: Estratégia Sub-ótima (Curva no Raio 3).
- Análise: Curva feita no Raio 3. O caminho reto diminui (soma 4), mas a curva aumenta muito, tornando o total maior.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) (2 . pi . 4) / 3 + 2
- Diagnóstico do Erro: Estratégia Ruim (Curva no Raio 4).
- Análise: O aluno fez a curva direto no ponto B (Raio 4) e depois subiu para A. Caminho muito longo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) (2 . pi . 5) / 3 + 2
- Diagnóstico do Erro: Estratégia Péssima / Erro de Cálculo.
- Análise: Curva no Raio 5? O ponto B nem está no raio 5. Seria preciso subir, girar e subir mais. Totalmente ineficiente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A alternativa correta é a A, pois a geometria da malha polar premia quem se aproxima do centro (raio menor) para realizar mudanças angulares, minimizando a distância percorrida nos arcos.
Resumo-flash:
Para girar gastando pouco, cole no centro e gire o troco.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é uma simplificação de como aviões viajam longas distâncias na Terra. Se você vai de São Paulo a Tóquio, o avião não segue uma linha reta no mapa-múndi tradicional; ele faz uma curva “para cima”, passando perto do Polo Norte. Por quê? Porque a Terra é uma esfera, e os “anéis” perto do polo são menores que os anéis perto do Equador. O piloto faz exatamente o que fizemos: “sobe” para o anel menor (polo), gira lá, e “desce” para o destino. Isso se chama Geodésica.
