O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais
recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).
Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região
central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete.
Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos
distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição
dos carros dentro de cada estande é irrelevante.
Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Combinação Simples e Permutação).
Tema/Objetivo Geral
Modelagem de um problema de contagem envolvendo escolha de subconjuntos e distribuição em locais distintos.
Nível da Questão: Médio.
- A questão exige dois níveis de raciocínio: primeiro a seleção dos itens (carros e caminhonetes) e segundo a alocação desses itens em lugares específicos (estandes distintos). O erro comum é parar na seleção e esquecer que “Entrada” e “Centro” são lugares diferentes, o que exige permuta.
Gabarito: Alternativa C.
- A expressão correta une a combinação dos veículos (escolha) com a permutação dos locais (distribuição), resultando no produto das combinações multiplicado por 2 e por 2.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Vamos despir a questão de qualquer enfeite. O organizador do evento tem um “cardápio” de carros e caminhonetes e precisa preencher duas vagas específicas: uma vaga no estande da Entrada e uma vaga no estande do Centro.
A regra é clara: cada estande recebe 1 carro e 1 caminhonete.
O detalhe crucial é: Os estandes estão em lugares diferentes. Colocar o “Carro Vermelho” na Entrada é uma situação distinta de colocar o “Carro Vermelho” no Centro.
Simplificando, imagine que você é um técnico de futebol. Primeiro você precisa convocar os jogadores (escolher quem vai), e depois precisa decidir quem joga no ataque e quem joga na defesa (decidir onde ficam).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- A Seleção (Casting): Escolher 2 carros dentre os 4 disponíveis.
- A Alocação (Cenário): Decidir qual dos 2 carros escolhidos vai para a Entrada e qual vai para o Centro.
- Repetir para Caminhonetes: Fazer o mesmo processo de escolha e alocação para as caminhonetes.
- Unificar: Usar a multiplicação para juntar todas as etapas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, precisamos diferenciar duas ferramentas da nossa maleta de combinatória.
Ferramenta 1: Combinação (C)
Usamos quando a ordem da escolha não cria um novo grupo.
Exemplo: Escolher o Carro A e o Carro B para ir ao evento. (A e B) é o mesmo par que (B e A).
Notação em texto: C(n, k).
Ferramenta 2: O Fator de Permutação (Troca de Lugares)
Depois que o grupo foi escolhido, precisamos ver se a ordem importa.
Aqui, temos dois palcos: Estande 1 e Estande 2.
Se escolhi Carro A e Carro B:
Cenário 1: A no Estande 1, B no Estande 2.
Cenário 2: B no Estande 1, A no Estande 2.
Isso gera 2 possibilidades (ou 2 fatorial).
Dossiê da Estratégia Mista:
Sempre que você tiver que escolher elementos E depois colocá-los em lugares específicos, a fórmula mental é:
(Combinação para Escolher) vezes (Permutação para Alocar).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos construir a expressão matemática seguindo a lógica do evento.
Etapa A: Resolvendo os Carros Compactos
- Disponíveis: 4. Vagas: 2.
- Primeiro, escolhemos a dupla que vai participar. Como a ordem da escolha não muda a dupla, usamos Combinação.
Expressão: C(4, 2). - Agora, pegamos essa dupla e distribuímos nos estandes (Entrada e Centro). Podemos inverter as posições entre eles.
Multiplicamos por 2.
Resultado parcial Carros: C(4, 2) x 2.
Etapa B: Resolvendo as Caminhonetes
- Disponíveis: 6. Vagas: 2.
- Escolhemos a dupla participante.
Expressão: C(6, 2). - Distribuímos essa dupla nos estandes (Entrada e Centro). Podemos inverter as posições.
Multiplicamos por 2.
Resultado parcial Caminhonetes: C(6, 2) x 2.
Etapa C: O Princípio Multiplicativo
Como o evento precisa dos carros E das caminhonetes simultaneamente, multiplicamos os resultados parciais.
Total = [C(4, 2) x 2] vezes [C(6, 2) x 2]
A ordem dos fatores não altera o produto, então podemos agrupar para ficar igual à alternativa:
Total = C(4, 2) x C(6, 2) x 2 x 2.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais sedutor aqui é esquecer que os estandes são diferentes. O aluno lê “a posição dos carros dentro do estande é irrelevante” e acha que a ordem nunca importa. Cuidado! A posição dentro do estande (esquerda ou direita) não importa, mas qual estande (Entrada ou Centro) importa muito. Por isso o “vezes 2” é obrigatório.
A Bússola (Síntese do Raciocínio):
Precisamos de uma expressão que tenha a Combinação dos carros, a Combinação das caminhonetes e as permutações de lugares para ambos (o 2 x 2).
Expectativa:
Procuramos algo como C(4,2) . C(6,2) . 2 . 2.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos analisar cada opção na ordem apresentada.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa A: A(10, 4).
Aqui o aluno somou todos os veículos (4+6=10) e tentou fazer um arranjo de 4 lugares. Isso é um erro grave de “mistura de categorias”. Carros e caminhonetes são grupos distintos e não podem ser tratados como um bolo único de 10 opções.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa B: C(10, 4).
Mesmo erro da anterior. O aluno juntou tudo num grupo de 10 e fez uma combinação simples. Isso ignora a regra de que deve haver obrigatoriamente um carro e uma caminhonete em cada lugar. Essa conta permitiria, por exemplo, escolher 4 caminhonetes e 0 carros.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
Análise de Correspondência:
Alternativa C: C(4, 2) x C(6, 2) x 2 x 2.
Perfeita.
C(4, 2) = Escolha dos carros.
C(6, 2) = Escolha das caminhonetes.
x 2 = Permutação dos carros entre Entrada e Centro.
x 2 = Permutação das caminhonetes entre Entrada e Centro.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa D: A(4, 2) x A(6, 2) x 2 x 2.
Essa é a pegadinha mais sofisticada. Vamos lá: O Arranjo A(4, 2) já calcula a escolha E a ordem (12 possibilidades). Se você usa Arranjo, você já resolveu o problema da posição dos estandes. Ao multiplicar por 2 e por 2 novamente, você está contando as permutações duas vezes. A resposta seria correta se fosse apenas A(4,2) x A(6,2), sem os números 2 no final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
A “Narrativa do Erro”:
Alternativa E: C(4, 2) x C(6, 2).
Esta alternativa faz apenas a “seleção do elenco”, mas esquece de distribuí-los nos palcos. Ela ignora que o estande da Entrada é diferente do Central.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A solução exige combinar a seleção dos grupos (Combinação) com a alocação nos espaços distintos (Permutação/Arranjo).
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Escolher o time não é escalar o time. Combinação escala, Permutação põe em campo.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio é a base da Criptografia e de sistemas de senhas. Escolher quais caracteres usar na senha é uma coisa (Combinação); a ordem em que você os digita muda completamente a senha (Permutação). A segurança digital depende dessa multiplicação explosiva de possibilidades quando a ordem importa.
