Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
• naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
• naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.
Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.
De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Análise Combinatória (Combinação Simples) e Lógica de Seleção (Princípio Fundamental da Contagem).
Tema/Objetivo Geral
Seleção de subconjuntos em grupos distintos seguindo critérios de exclusão.
Nível da Questão: Médio.
- Exige duas etapas de raciocínio: primeiro, filtrar quem pode ser escolhido (interpretação da regra do sol); segundo, aplicar a fórmula de combinação (pois a ordem da escolha não importa) multiplicada pelo número de andares. A dificuldade está em traduzir o texto para a notação de fatorial.
Gabarito: Alternativa B.
- Identificamos 6 apartamentos válidos por andar. Devemos escolher 2. A fórmula é Combinação de 6 tomados 2 a 2. Como existem 9 andares, multiplicamos o resultado por 9. A expressão final é 9 vezes [6! dividido por ((6-2)! vezes 2!)].
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo
A questão descreve um prédio com 9 andares e 8 tipos de apartamentos por andar. O comprador quer escolher 2 apartamentos no mesmo andar que tenham sol pela manhã (seja em um ou dois quartos). O objetivo é montar a expressão matemática que calcula o total de possibilidades de compra.
Simplificação Radical (A Analogia Central)
Imagine que você tem 9 caixas (andares). Dentro de cada caixa, há 8 bombons numerados de 1 a 8.
Você só gosta de bombons de chocolate (números 1 a 6); os de morango (7 e 8) você odeia.
Sua missão: Escolher uma caixa qualquer e, de dentro dela, pegar 2 bombons de chocolate. De quantas formas você pode fazer esse “combo”?
Plano de Ataque
- Filtrar os Candidatos: Descobrir quais números de apartamento atendem ao requisito “sol de manhã”.
- Calcular as Duplas por Andar: Usar Análise Combinatória para saber quantas duplas posso formar com os candidatos aprovados em um único andar.
- Expandir para o Prédio: Multiplicar o resultado pelo número de andares (Princípio Multiplicativo).
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para organizar o raciocínio, vamos utilizar um Diálogo Socrático (Mentor & Aluno).
Diálogo: A Ordem Importa?
Mentor: Vamos analisar a escolha. Se eu comprar o apartamento 101 e o 102, é diferente de comprar o 102 e o 101?
Aluno: Não. No final, eu terei os mesmos dois apartamentos na mão.
Mentor: Perfeito. Quando a ordem não altera o resultado, usamos Arranjo ou Combinação?
Aluno: Combinação! A fórmula com o fatorial extra embaixo para “cortar” as repetições.
Mentor: Exato. A fórmula da Combinação de n elementos escolhidos p a p é:
C(n, p) = n! dividido por [(n-p)! vezes p!].
Mentor: E sobre os andares… se eu posso fazer essa escolha no 1º andar, OU no 2º, OU no 3º… o que faço com os resultados?
Aluno: Se os eventos são independentes, eu somo as possibilidades de cada andar. Como todos os andares são iguais, multiplico o resultado de um andar por 9.
Mentor: Brilhante. Então a estrutura da resposta será: 9 vezes (Combinação dos Aprovados).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos seguir o plano.
Etapa 1: A Seleção Natural (Quem fica?)
O critério é: “pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã”.
Vamos checar a lista do enunciado:
- Finais 1 ou 2: Sol de manhã nos dois quartos. (Serve? Sim).
- Finais 3, 4, 5 ou 6: Sol de manhã em um quarto. (Serve? Sim).
- Finais 7 ou 8: Sol apenas à tarde. (Serve? Não).
Total de apartamentos válidos por andar: 6 (os finais 1, 2, 3, 4, 5 e 6).
Total de apartamentos que eu quero comprar: 2.
Etapa 2: A Matemática da Escolha (Combinação)
Temos n = 6 (disponíveis) e k = 2 (escolhidos).
Fórmula de Combinação:
C(6,2) = 6! dividido por [(6-2)! vezes 2!]
(Note que as alternativas não resolvem a conta, elas deixam indicado. Então paramos aqui).
Etapa 3: O Prédio Inteiro
Como temos 9 andares idênticos onde isso pode acontecer, multiplicamos o resultado por 9.
Total = 9 vezes [6! dividido por ((6-2)! vezes 2!)]
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum é usar Arranjo em vez de Combinação.
No Arranjo, a fórmula não tem o “2!” dividindo embaixo. Isso aconteceria se a ordem importasse (ex: “o primeiro apê será meu e o segundo será do meu filho”). Como o enunciado diz apenas “uma pessoa pretende comprar 2 apartamentos”, subentende-se que é um conjunto único, sem hierarquia. A alternativa (A) representa o Arranjo e é uma armadilha fatal.
Bússola (Síntese do Raciocínio)
Temos 9 andares. Em cada um, fazemos uma Combinação de 6 elementos tomados 2 a 2.
Expressão procurada: 9 vezes C(6,2).
Expectativa: Procurar a alternativa que tenha o 9 multiplicando e o 2! no denominador (parte de baixo da fração).
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 9 vezes 6! / (6-2)!
Diagnóstico do Erro: Confusão entre Arranjo e Combinação.
Essa fórmula calcula o número de maneiras se a ordem importasse (Arranjo). Como comprar {Ap. 101, Ap. 102} é igual a comprar {Ap. 102, Ap. 101}, essa fórmula conta o dobro do necessário. Faltou dividir por 2! no final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - B) 9 vezes 6! / [(6-2)! vezes 2!]
Análise de Correspondência:
Perfeita.- 9: Total de andares.
- 6!: Total de opções válidas fatorial.
- (6-2)!: Resto da subtração da fórmula.
- 2!: Fator de correção da Combinação (elimina a ordem).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- C) 9 vezes 4! / [(4-2)! vezes 2!]
Diagnóstico do Erro: Erro na Filtragem.
O aluno considerou apenas os apartamentos com finais 3, 4, 5 e 6 (total de 4 opções), esquecendo que os finais 1 e 2 também pegam sol de manhã e são válidos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - D) 9 vezes 2! / [(2-2)! vezes 2!]
Diagnóstico do Erro: Filtragem Excessiva.
O aluno considerou apenas os apartamentos com finais 1 e 2 (total de 2 opções), achando que “ambos os quartos” era requisito obrigatório, quando o texto diz “pelo menos um”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - E) 9 vezes [(8! / ((8-2)! vezes 2!)) – 1]
Diagnóstico do Erro: Lógica do Complementar Falha.
O aluno tentou calcular o total com todos os 8 apartamentos e subtrair os “ruins”. Mas a subtração de conjuntos combinatórios é mais complexa do que apenas “menos 1”. Além disso, ele não isolou corretamente os casos inválidos.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento
Em problemas de contagem, primeiro defina quem entra na festa (filtragem), depois decida se a ordem da fila importa (arranjo) ou se é apenas um grupo de amigos (combinação).
Resumo-flash
“Escolher dois sem ordem, a Combinação nos diz: divide pelo fatorial da escolha e seja feliz.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro)
Este problema é a base da Loteria. Na Mega-Sena, você escolhe 6 números dentre 60. A ordem não importa (se sair 10-20-30 é o mesmo que 30-20-10). Por isso a chance de ganhar é 1 dividido pela Combinação de 60 tomados 6 a 6 (aproximadamente 50 milhões). Se a ordem importasse, seria quase impossível ganhar!
